Los Vectores en el Plano Real

...

de Vectores: Para restar dos vectores libres y se suma con el opuesto de. Las componentes del vector resta se obtienen restando las componentes de los vectores.

Dependencia e independencia lineal

Un conjunto de vectores es linealmente independiente si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes. Por ejemplo, en R3, los vectores (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) son linealmente independientes, mientras que (2, −1, 1), (1, 0, 1) y (3, −1, 2) no lo son, ya que el tercero es la suma de los dos primeros.

Sea v1, v2,…, vn un conjunto de vectores. Decimos que son linealmente dependientes si existen números a1, a2,…, an, no todos iguales a cero, tal que:

Utilizando conceptos de espacios vectoriales podemos redefinir la independencia lineal así:

Un conjunto de vectores de un espacio vectorial es linealmente independiente si los conjuntos de vectores que son linealmente independientes, generan un espacio vectorial y forman una base para dicho espacio. Entre las propiedades de los vectores linealmente dependientes e independientes encontramos: Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si y solamente si alguno de los vectores es combinación lineal de los demás. Si un conjunto de vectores es linealmente independiente cualquier subconjunto suyo también lo es. Obviamente, si tenemos un conjunto de vectores tales que ninguno de ellos es combinación de los demás, escogiendo solamente unos cuantos, no podrán ser combinación de los otros. Si un conjunto de vectores es linealmente dependiente también lo es todo conjunto que lo contenga. Ya que un conjunto de vectores es linealmente dependiente si y solo si tiene algún vector que es combinación lineal de los demás, si metemos este conjunto de vectores en otro más grande, seguimos teniendo el vector que es combinación lineal de otros, por tanto, el conjunto más grande sigue siendo linealmente dependiente.

Aplicación de Vectores linealmente dependientes:

Muchos de los vectores libres del plano se dice que son linealmente dependientes si hay una combinación lineal de ellos lo que es igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal.

a_1 (V1) ⃗ a_2 (V2) ⃗…¬±An (Vn) ⃗ =0 ⃗

Propiedades:

Si varios vectores son linealmente dependientes, entonces al menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás

a_1 (V1) ⃗ ±a_2 (V2) ⃗+⋯+ a_3 (V3) ⃗ =0

V ⃗ = -a_2/a_1 (V_2 ) ⃗-a_3/a_1 (V_3 ) ⃗

También se cumple el reciproco: si un vector es combinación lineal de otros, entonces todos los vectores son linealmente dependientes.

Dos vectores del plano son linealmente dependientes si, y sólo si, son paralelos.

Dos vectores libres del plano = (u1, u2) y = (v1, v2) son linealmente dependientes si sus componentes son proporcionales.

Aplicación de Vectores linealmente independientes:

Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes.

a_1 (V_1 ) ⃗ ¬+ a_2 (V_2 ) ⃗ ±⋯± a_n (V_n ) ⃗ =0

Los vectores linealmente independientes tienen distinta dirección y sus componentes no son proporcionales.