LA RECTA LA RECTA EN EL PLANO

...

[pic 87].

Un punto [pic 88] del plano pertenece a la recta si y sólo si

[pic 89], o sea [pic 90]

esta es la ecuación de la recta que pasa por los puntos [pic 91] y [pic 92].

Obs.:

- Si [pic 93], la última ecuación no puede usarse. En este caso, la recta es paralela al eje [pic 94], y su ecuación es [pic 95].

- Si se multiplica la última ecuación por [pic 96], se obtiene:

[pic 97] que puede escribirse en forma de determinante

[pic 98]

- Entonces, para que los puntos [pic 99] estén sobre una misma recta, se debe cumplir que:

[pic 100]

Ecuación simétrica de una recta

La recta cuyas intercepciones con los ejes X e Y son [pic 101] y [pic 102], respectivamente, tiene por ecuación

[pic 103]

Esta ecuación se llama ecuación simétrica de la recta.

Ecuación general de la recta

Una ecuación de la forma

[pic 104]

donde [pic 105] o [pic 106] representa una recta [pic 107]. Esta ecuación se llama ecuación general de la recta [pic 108].

De la ecuación general se tiene

[pic 109].

Comparando con la ecuación pendiente ordenada al origen se tiene que la pendiente de la recta es

[pic 110].

Posiciones relativas de dos rectas

Si las ecuaciones de dos rectas son C[pic 111] y [pic 112], entonces las rectas:

- son paralelas si [pic 113]

- son perpendiculares si [pic 114]

- son coincidentes si [pic 115] y [pic 116] para algún escalar [pic 117]

- se interceptan en un único punto si [pic 118]

Distancia de un punto a una recta

Sea [pic 119] una recta cuya ecuación general está dada por [pic 120]. La distancia [pic 121] de un punto [pic 122] a la recta [pic 123] está dada por la fórmula:

[pic 124].

[pic 125]

Ecuación normal de una recta

Dada una recta en el plano, tracemos por el origen de coordenadas una perpendicular a la recta dada llamada norma. Si [pic 126] es el punto de intersección de la normal con la recta dada y [pic 127] es la longitud del segmento [pic 128] y [pic 129] el ángulo de la normal con el eje [pic 130], entonces la ecuación

[pic 131]

es llamada ecuación normal de la recta.

Dada la ecuación general de una recta,[pic 132], esta puede reducirse a su forma normal [pic 133], multiplicando cada termino de la ecuación general por

[pic 134], en donde el signo del radical se escoge como sigue:

- Si [pic 135], [pic 136] es de signo contrario a [pic 137].

- Si [pic 138] y [pic 139], [pic 140] y [pic 141] tienen el mismo signo.

- Si [pic 142], [pic 143] y [pic 144] tienen el mismo signo.

Familia o haz de rectas

El conjunto de rectas que pasa por un punto [pic 145] se llama haz de rectas. Si [pic 146] y [pic 147] son las ecuaciones de dos rectas que se cortan en un punto [pic 148], la ecuación [pic 149] en la que [pic 150] y [pic 151] son números no simultáneamente nulos, determina una recta que pasa también por el punto [pic 152]. Si [pic 153] y tomando [pic 154], tenemos que [pic 155] determina cualquier recta que pasa por el punto [pic 156], excluyendo a la recta [pic 157], pues [pic 158].

LA RECTA EN EL ESPACIO

Ecuación vectorial de la recta

Sea [pic 159] una recta que pasa por el punto [pic 160] y tiene dirección de un vector no nulo [pic 161]. Para que un punto [pic 162] del espacio pertenezca a la recta [pic 163], es necesario y suficiente que los vectores [pic 164] y [pic 165] sean colineales, esto es:[pic 166]

[pic 167] ó [pic 168].

Por lo que [pic 169]. Si [pic 170], [pic 171] y [pic 172], entonces [pic 173]. Esta ecuación se llama ecuación vectorial de la recta [pic 174]. El vector [pic 175] se llama vector director de la recta [pic 176] y [pic 177] es denominado parámetro.

Ecuaciones paramétricas de la recta

Sean [pic 178] y [pic 179] un punto genérico y un punto dado, respectivamente, de la recta [pic 180], y [pic 181] un vector de la misma dirección que [pic 182]. De la ecuación vectorial de la recta [pic 183] se tiene:

[pic 184], ó [pic 185]

o también

[pic 186].

De esto, podemos concluir que:

[pic 187].

Las ecuaciones anteriores, en las cuales [pic 188], [pic 189] y [pic 190] no son todos nulos (pues [pic 191]), son denominadas ecuaciones paramétricas de la recta [pic 192].

La recta [pic 193] es el conjunto de todos los puntos [pic 194] determinados por las ecuaciones paramétricas cuanto [pic 195] varia de [pic 196] a [pic 197].

Recta definida por dos puntos

La recta determinada por los puntos [pic 198] y [pic 199] es una recta que pasa por los puntos [pic 200] (ó [pic 201]) y tiene la dirección del vector .[pic 202]

Ecuaciones simétricas de la recta

De las ecuaciones paramétricas, suponiendo que [pic 203], tenemos que:

[pic