Intuitivamente pensamos en R como la "recta real", todo punto sobre la recta corresponde a un número real.

...

Si x y ϵ son positivos, entonces n⋅ϵ>x para algún entero n.

Para todo entero positivo n, definimos la n−esima raíz de x≥0, denotado por x1n.

x1n=∑{y∈R | 0≤y, yn≤x}

Densidad de racionales e irracionales

Definición.

Un conjunto D es denso en los reales si cualquier intervalo abierto (a,b) contiene un elemento de D.

Teorema

El conjunto de números racionales es denso en los reales; es decir si a y b son números reales con a<b, entonces existe un número racional p/q tal que a<pq<b.

Los enteros naturales

El conjunto de los naturales N

La aritmética es el estudio de las propiedades de los enteros naturales.

El conjunto N de enteros naturales es el conjunto fundamental a partir del cual se han construido las matemáticas, admitiremos la existencia de este conjunto así como las tres propiedades que lo caracterizan:

• El conjunto N es un conjunto bien ordenado que admite el entero 0 como el elemento más pequeño.

• Todo elemento n∈N admite un sucesor, es decir un elemento n′>n tal que no existe ningún elemento de N estrictamente comprendido entre n y n′. (Mostrar que este sucesor es único). Esto permite definir el entero 1∈N como el sucesor de 0, el entero 2como el sucesor de 1, etc. Para cada entero n∈N, se designa por n+1 al sucesor de n.

• El conjunto N obedece el principio de inducción.

Principio de Inducción

Definición.

Sea A una parte de N verificando las dos condiciones siguientes.

• Existe n0∈N, y n0∈A.

• Para todo n≥n0, si n∈A entonces n+1∈A.

entonces, para todo n≥n0, n∈A

El principio de inducción, justifica lo que se llama demostración por inducción, que solo concierne a los enunciados donde intervienen enteros

Definición [Demostración por inducción].

Para demostrar que un enunciado P(n) es cierto para todo entero n≥n0. Si planteamos

A={n∈N | P(n) es verdadero }

es suficiente, en virtud del principio de inducción, demostrar que:

• P(n0) es cierto.

• Para todo n≥n0, si P(n) es verdadero entonces P(n+1) es verdadero.

Existen variantes de la demostración por inducción, por ejemplo:

Variante 1

Para demostrar que un enunciado P(n) es verdadero para todo entero n≥n0, es suficiente demostrar que:

• P(n0) y P(n0+1) son verdaderos.

• Para todo n≥n0+1, si P(n−1) y P(n) son verdaderos entonces P(n+1) es verdadero.

Variante 2

Para demostrar que un enunciado P(n) es verdadero para todo entero n≥n0, es suficiente demostrar que:

• P(n0) es verdadero.

• Para todo n≥n0, si para todo k∈[n0,n], P(n) es verdadero entonces P(n+1) es verdadero.

Se recuerda que el intervalo [n0,n] significa el conjunto de enteros k∈N verificando n0≤k≤n.

Ejercicios

• Mostrar que si dos enteros admiten el mismo sucesor, ellos son iguales.

• Demostrar por inducción que todo entero n≥1 admite un predecesor, es decir un entero del cual el es el sucesor, y que ese predecesor es único.

• Para cada n∈N definir (por inducción) el entero n+k, para todo k∈N, a partir de la segunda propiedad

Divisibilidad

Definición.

Sean a y b dos enteros. Se dirá que a divide a b si, y solamente sí, existe un entero k tal que b=k⋅a. Se denota por a|b. Se dice también que b es un múltiplo de a o que b es divisible por a.

Por ejemplo: 3|12 ya que 12=3×4.

Definición.

Si un entero es divisible por 2, se dirá que es par, sino el es llamado impar.

Propiedades

Sean a, b, c, a′, b′ enteros:

1. Se cumple que a|a, a|0 y 1|a.

2. Si 0|a, entonces a=0 y si a|1 entonces a=±1.

3. Si a|b entonces −a|b.

4. Si a|b y b≠0, entonces |a|≤|b|. Luego todo entero admite un número finito de divisores.

5. Si a|b y b|a, entonces |a|=|b|.

6. Si a|b y b|c, entonces a|c (transitividad).

7. Si a|b y a|c, entonces a|(αb+βc), con α y β dos enteros cualesquiera, en particular a|(b+c), a|(b−c)

8. Si a|b, entonces a|bc.

9. Si a|b, entonces ac|bc.

10. Si a|b y a′|b′, entonces aa′|bb′. En particular an|bn para todo entero natural n.

División Euclidiana

Teorema.

Sea a un entero y b un natural no nulo. Existen dos enteros q (llamado cociente) y r (llamado resto) únicos, tales que:

a=bq+rcon 0≤r<b

Este es el teorema central de la aritmética.

Algoritmo de cálculo

Efectuamos la división como la aprendimos en la escuela, y nos detenemos cuando el resto sea estrictamente inferior a b.

Ejemplo. Efectuemos la división Euclidiana de 4567 y 18

Concluimos que 4567=18×253+13

Congruencias

Definición.

Sea