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Los principales modelos estadísticos usados para describir los procesos relacionados con los sismos son los procesos estocásticos los cuales sirven para caracterizar una sucesión de variables aleatorias que evolucionan en función de otra variable, generalmente el tiempo. Estos se basan en series de tiempo y procesos puntuales. Los modelos de series de tiempo se usan generalmente para describir procesos que son muestreados en puntos de tiempo discretos, mientras que procesos puntuales se usan para modelar fenómenos que se presentan de manera irregular, sin un patrón temporal, y que pueden ocurrir en cualquier momento o espacio.

Para poder escoger el método estadístico correcto todo depende del comportamiento de los elementos. Si el comportamiento de los elementos del sistema puede predecirse con seguridad, el sistema es determinístico, de lo contrario es estocástico. Si la probabilidad de encontrarse en alguno de los estados no cambia con el tiempo el sistema es estático, de lo contrario es un sistema dinámico. Si el estado de un sistema cambia solo en ciertos instantes de tiempo se trata de un suceso discreto, de lo contrario de un suceso continuo.

Tarantola y Valette (1982b) proponen que antes de formular la solución a estos problemas sismológicos por lo general inversos es necesario que:

- sea válida tanto para problemas lineales como para problemas no lineales, tanto para problemas bien determinados (suficientes datos para la estimación, matrices invertibles) como para problemas mal determinados (información insuficiente o inconsistente).

- consistente con respecto a un cambio de variables (el cual no es el caso con aproximaciones ordinarias).

- suficientemente general para permitir diferentes distribuciones para el error en los datos (gaussiana, no gaussiana, simétrica, asimétrica, etc.), para permitir la incorporación formal de cada supuesto y para incorporar errores teóricos en una forma natural.

También afirman que estas restricciones pueden cumplirse si se formula el problema usando teoría de probabilidades y toda la información disponible (Inferencia bayesiana), estudiando sistemas que puedan ser descritos con un finito grupo de parámetros donde las características cuantitativas del sistema sean definidas como funciones de probabilidad (para datos y parámetros) más que como parámetros discretos. Sin embargo, existen diversos métodos estadísticos de estimación que, aunque no cumplen todas las restricciones anteriores, de igual manera y para problemas específicos proporcionan estimadores con propiedades deseables.

Inferencia bayesiana o teorema de Bayes

es un tipo de inferencia estadística en la que las evidencias u observaciones se emplean para actualizar o inferir la probabilidad de que una hipótesis pueda ser cierta.

[pic 2]

Siendo:

- [pic 3] una hipótesis, llamada hipótesis nula, que ha sido inferida antes de que la nueva evidencia, E resultara disponible.

- [pic 4] se llama la probabilidad a priori de [pic 5].

- [pic 6] se llama la probabilidad condicional de que se cumpla la evidencia [pic 7] si la hipótesis [pic 8] es verdadera. Se llama también la función de verosimilitud cuando se expresa como una función de E dado [pic 9].

- [pic 10] se llama la probabilidad marginal de E: la probabilidad de observar la nueva evidencia E bajo todas las hipótesis mutuamente excluyentes. Se la puede calcular como la suma del producto de todas las hipótesis mutuamente excluyentes por las correspondientes probabilidades condicionales:

[pic 11].

- [pic 12] se llama la probabilidad a posteriori de [pic 13] dado E.

El factor [pic 14] representa el impacto que la evidencia tiene en la creencia en la hipótesis.

http://www.osso.org.co/docu/tesis/2003/evaluacion/analisis.pdf

FUNCION GAUSSIANA

En estadística, la función gaussiana (en honor a Carl Friedrich Gauss) es una función definida por la expresión:

[pic 15]

donde a, b y c son constantes reales (a > 0).

Las funciones gaussianas se utilizan frecuentemente en estadística correspondiendo, en el caso de que a sea igual a [pic 16], a la función de densidad de una variable aleatoria con distribución normal de media μ=b y varianza σ2=c2.

La primitiva de una función gaussiana es la función error. Estas funciones aparecen en numerosos contextos de las ciencias naturales, ciencias sociales, matemáticas ingeniería. Algunos ejemplos:

- En estadística y teoría de probabilidades, las funciones gaussianas aparecen como la función de densidad de la distribución normal, la cual es una distribución de probabilidad límite de sumas complicadas, según el teorema del límite central.

- Una función gaussiana es la función de onda del estado fundamental del oscilador armónico cuántico.

DISTRIBUCION GAUSSIANA

En estadística y probabilidad se llama distribución normal, distribución de Gauss o distribución gaussiana, a una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con más frecuencia aparece aproximada en fenómenos reales.

La distribución gaussiana es la reina de las distribuciones. En este universo, la naturaleza se comporta gaussianamente.

• El teorema del límite central garantiza que cualquier otra distribución se comporta como una gaussiana cuando se hacen un número suficiente de experimentos: “la suma de muestras independientes para cualquier distribución con valor esperado y varianzas finitos converge a la distribución normal conforme el tamaño de muestras tiende a infinito”.

La gráfica de su función de densidad tiene una forma acampanada y es simétrica respecto de un determinado parámetro estadístico. Esta curva se conoce como campana de Gauss y es el gráfico de una función gaussiana.

La importancia de esta distribución radica en que permite modelar numerosos fenómenos naturales, sociales y psicológicos. Mientras que los mecanismos que subyacen a gran parte de este tipo de fenómenos son desconocidos, por la enorme cantidad de variables incontrolables