Ondas de torsión en una barra
Enviado por Helena • 3 de Mayo de 2018 • 1.415 Palabras (6 Páginas) • 920 Visitas
...
Si tomamos ψ, como el desplazamiento transversal de una pequeña sección dx en un instante de tiempo, este desplazamiento es una función de la posición por cuanto cada uno de los puntos de la barra sufre un desplazamiento diferente, en este caso la deformación unitaria es transversal y por tal motivo recibe el nombre de deformación unitaria transversal, δ=, y la ley de Hooke en este caso es[pic 25]
[pic 26]
de donde σc, es el esfuerzo cortante y M es el módulo de torsión del material, la fuerza es entonces
[pic 27]
de donde A es el área de transversal de la barra, la ecuación del movimiento de la barra, de acuerdo con la segunda Ley de Newton es
[pic 28]
donde dm=ρdV=ρAdx, con esto
[pic 29]
remplazando la expresión para la fuerza [pic 30], en esta última ecuación se llega a
[pic 31]
De forma similar se puede obtener la ecuación de ondas para el campo de fuerzas, derivando [pic 32], con respect a x y remplazando la ecuación [pic 33], llegando a
[pic 34]
de donde, la velocidad con la que se propagan tanto el campo de desplazamientos como el campo de fuerzas
[pic 35]
Ondas longitudinales en una barra
Cuando se produce una perturbación, ésta perturbación se propaga a través de la barra y se siente en otros lugares de la barra, en éste caso se dice que se ha propagado una onda el ́astica a lo largo de la barra, a medida que se propaga la perturbación, los elementos de la barra se deforman (se alargan y se contraen) y se desplazan.
[pic 36]
Ondas longitudinales en una barra
Para analizar la propagación de estas ondas en la barra, consideremos una barra cilíndrica de sección transversal A, de esta barra cilíndrica tomamos un elemento diferencial de volumen de ancho dx, a causa de la perturbación este elemento diferencial se deforma una cantidad dψ, de tal forma que el nuevo ancho del elemento diferencial es dx + dψ, la deformación unitaria o deformación por unidad de longitud ε esta definida como la razón entre la deformación y el elemento de longitud deformado
[pic 37]
Una relación entre el esfuerzo normal y la deformación unitaria se establece por la ley de Hooeke, la cual define que el esfuerzo normal es proporcional a la deformación unitaria
[pic 38]
donde la constante Y, es el módulo de elasticidad de Young del material de la barra, las unidades del módulo de Young son N/m2, pero el esfuerzo normal se define como la fuerza por unidad de área, es decir
[pic 39]
con la utilización de estas últimas ecuaciones se puede escribir la fuerza como
[pic 40]
El movimiento del elemento de barra está determinado por las fuerzas que actúan sobre él, y que “tratan” de llevarlo a la posición de equilibrio. Las fuerzas que actúan son la fuerza F que ejerce la parte de la barra que se encuentra a la izquierda del elemento de la fuerza F’ que ejerce la parte derecha de la barra.
De acuerdo con la Segunda Ley de Newton, tenemos:
[pic 41]
el elemento diferencial de masa puede ser escrito en la forma dm = ρdV, donde dV = Adx, de donde dm = ρAdx, que al ser remplazado en la ecuación anterior se convierte en
[pic 42]
Introduciendo F, de la ecuación [pic 43] en la ecuación [pic 44] se llega a
[pic 45]
Esta ecuación, la cual es la ecuación de ondas para la deformación en una barra, de la cual se puede concluir que estas ondas se propagan a lo largo de la barra con una velocidad
[pic 46]
Si ahora se toma la ecuación [pic 47] y se deriva respecto de x
[pic 48]
y de [pic 49] ∂ψ/∂x = F/Y A, remplazando en la ecuación anterior
[pic 50]
ecuación a partir de la cual se puede notar que el campo de fuerzas se propaga a lo largo de la barra con la misma velocidad que el campo de desplazamientos.
Ejemplo: Un alambre de acero que tiene una longitud de 2m y un radio de 0,5mmcuelga del techo. Si un cuerpo de 100kg de masa se suspende del extremo libre hallar la elongación del alambre y la velocidad de las ondas longitudinales que se propagan a lo largo del alambre.
La fuerza que actúa sobre el alambre es el peso el cual es F = mg = 100kg ∗ 9,8m/s2 = 980N, el módulo de Young para el acero es Y = 2,0 × 10 11 N/m2, con esto F = Y Aε ⇒ 980N = 2,0 × 10 11 N/m2 ∗ π ∗ (0,5x-3)2ε, de donde ε = 6,238x-3, de lo cual, la deformación es 1,24cm
La velocidad de las ondas longitudinales es:
[pic 51]
...