TRABAJO PRÁCTICO DE ÁLGEBRA TEMA: DIVISIBILIDAD

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Enunciaremos formalmente el teorema que acabamos de demostrar:

Dados dos números naturales a y b, existe un único par de enteros q y r, que llamaremos el cociente y el resto de la división entera de b por a, respectivamente, satisfaciendo las dos siguientes condiciones:

- b=qa+r

- 0≤r

Como caso particular muy importante que permite decidir efectivamente si un número natural a divide a otro b:

b es múltiplo de a si y sólo si el resto de dividir b por a es cero.

PROBLEMAS

- Un número natural n excede en 35 a un cierto múltiplo de 24. ¿Cuál es el resto de dividirlo por 8?

La hipótesis del problema nos dice que n es de la forma 24k+35, para algún entero k. Operando, tenemos:

n=24k+35=8.3k+8.4+3=8.(3k+4)+3

Tomando q=3k+4, obtenemos la relación n=8q+3, lo que permite asegurar que el cociente de dividir n por 8 es q y el resto es 3.

- Supongamos que n es un número impar y no divisible por 3. ¿Cuál es el resto de dividir n^2 por 24?

Para orientarnos en el problema, veamos qué ocurre con algunos casos particulares. Si tomamos los cuatro primeros valores posibles de n, a saber: 1,5,7y 11, sus cuadrados son 1,25,49 y 121, respectivamente, y un simple cálculo nos muestra que siempre obtenemos resto 1. Vamos a demostrar ahora que esta coincidencia no es casual.

Teniendo en cuenta que n no es divisible ni por 2 ni por 3, lo aconsejable es dividir a n por 6. De este modo, obtenemos una relación del tipo:

n=6q+r (0≤r

Ahora bien, r no puede ser par, pues en tal caso n resultaría par, y tampoco puede ser 3, porque n sería múltiplo de 3. Por lo tanto, las únicas posibilidades son: n=6q+1 o n=6q+5.

Podemos todavía unificar algo más estas expresiones. Si en el caso r=5 escribimos: n=6q+5=6(q+1)-1, ambas situaciones admiten la forma general n=6k±1. Elevando ahora al cuadrado, obtenemos:

n^2=(6k±1)^2=36k^2±12k+1=12k(3k±1)+1

Cualquiera sea k, el producto k(3k±1) es par, pues siempre alguno de los factores lo es. Luego, si escribimos k(3k±1)=2t, tenemos:

n^2=12.2t+1=24t+1.

Puesto que esta expresión satisface las condiciones D.1) y D.2), concluimos entonces que el resto de dividir a n^2 por 24 es 1, como sugerían los ejemplos.

Hasta aquí, hemos probado la existencia de la división entera entre números positivos. Podemos extender esta noción a cualquier par de enteros a y b, no necesariamente positivos, con la única restricción de que a sea distinto de cero. El enunciado del caso general es el siguiente:

Dados números enteros a y b, a distinto de cero, existe un único par de enteros q y r, que respectivamente llamaremos cociente y resto de la división entera de b por a, satisfaciendo las dos siguientes condiciones:

D1) b=qa+r

D2) 0≤r

- Supongamos que al dividir por 12 catorce números enteros consecutivos se obtienen tres cocientes diferentes ¿Cuáles son los restos de dividir por 12 el menor y el mayor de dichos números?

Sea c el menor de los números (en cuyo caso el mayor será c+13). Como en la demostración del teorema, c estará ubicado entre dos múltiplos consecutivos de 12. Si comenzamos a incrementar a c en una unidad y vamos dividiendo sucesivamente por 12 los números obtenidos, al principio el resto también aumentará de a uno, hasta que nos encontremos con un múltiplo de 12. Ahí el cociente se incrementa en uno, el resto vuelve a cero, y así siguiendo. Ahora bien, según los datos de nuestro problema, el cociente cambia dos veces entre c y c+13, lo que se traduce en una situación del siguiente tipo:

c=12q+r

c+13=12(q+2)+s

donde r y s (los restos que queremos calcular) se mueven entre 0 y 11. Restando ambas ecuaciones, resulta que 13=24+(s-t), de donde r-s=11.

Dado el rango de variación de r y s, la única posibilidad es r=11 y s=0. En otras palabras, la sucesión debe comenzar en un número inmediatamente anterior a un múltiplo de 12 y terminar con un múltiplo de 12.

- Dos números enteros m y n (m) difieren en 110. El resto de dividir m por 9 es mayor que el de dividir n por 9, y ninguno de los dos es múltiplo de 9. ¿Cuáles son esos restos?

Llamaremos r al resto de dividir m por 9, es decir, vale una relación del tipo m=9q+r. Si a m le sumamos 9, el resto de dividir por 9 no cambia, ya que m+9=9(q+1)+r. Lo mismo ocurrirá si sumamos 18, 27, ó, en general, cualquier múltiplo de 9. Por lo tanto, nos interesa saber cuántas veces podemos avanzar de a 9 hasta alcanzar n, para lo cual basta dividir 110 por 9. En efecto, la relación 110=12x9+2, sigue que:

n=m+110=9q+r+12x9+2=9(q+12)+r+2

Si r fuera menor que 7, la ecuación anterior nos indicaría que el resto de dividir n por 9 es r+2, lo que no es posible, puesto que sabemos que dicho resto es menor que r. Por lo tanto, el resto de dividir m por 9 es 8, mientras que el de n es 1, ya que entonces n=9(q+12)+10=9(q+13)+1.

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

¿Quién no los recuerda? ¿Quién no estuvo en la clase de matemáticas de la primaria, sentado al lado de nuestro mejor amigo y viendo cómo la docente nos enseñaba cómo decidir si un número es divisible por otro?

Todos hemos asistido a esa curiosa clase de matemáticas. Todos recordamos los criterios que nos enseñaron de chiquitos: un número es divisible por tres cuando la suma de sus dígitos es un múltiplo de 3... Un número es múltiplo de 5 si termina en cero o en cinco...

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