Distribución Uniforme U(a, b)

Distribución Uniforme U(a, b)

Se dice que una variable aleatoria X, tiene una distribución continua en el intervalo (a,b) si su función de densidad es

[pic 1]

La función de distribución es

[pic 2]

Por lo tanto, si consideramos el intervalo se tiene que [pic 3]

[pic 4]

Lo que indica que la probabilidad de que la variable aleatoria X tome valores dentro de un intervalo   depende sólo de su longitud. Esta probabilidad es la misma para cualquier otro subintervalo de  con la misma longitud  ; este resultado es el que da nombre a la distribución.[pic 5][pic 6][pic 7][pic 8]

Esta situación se presenta cuando se hacen medidas (masa, velocidad, longitud, etc.) y se suelen redondear a la unidad más próxima. El error cometido es la diferencia  entre el valor verdadero y el de redondeo, este error normalmente se distribuye uniformemente.

La media y la varianza  de una variable aleatoria uniforme es,

E(X) =              V(X)= [pic 9][pic 10]

Ejemplo.

Un repartidor debe entregar un paquete a las 10 de la mañana. A consecuencia del tráfico, el tiempo que tarda en recorrer el trayecto oscila entre los 35 y 45 minutos. ¿A qué  hora  debe iniciar el recorrido para entregar el paquete puntualmente con probabilidad de 0.85?

Solución

X: Tiempo que tarda en entregar el paquete

Supongamos una distribución uniforme en el intervalo  con función de densidad[pic 11]

[pic 12]

Y función de distribución

[pic 13]

Por lo tanto

[pic 14]

Debe salir 43,5 minutos antes de las 10.

Ejemplo.

Cuando deja de funcionar una tarjeta de circuito integrado, un sistema de cómputo se detiene hasta que se entregue una tarjeta nueva. El tiempo de entrega X está uniformemente distribuido en el intervalo de uno a cinco días. El costo C de esa falla y la parada comprende un costo fijo  de la refacción y un costo que aumenta en forma proporcional a , de modo que [pic 15][pic 16]

C= .[pic 17]

1. Calcular la probabilidad de que el tiempo de entrega sea de dos días a más.
2. Calcular el costo esperado de una determinada falla del componente en términos de [pic 18]

Solución.

1. El tiempo de espera X está uniformemente  distribuido de uno a cinco días, lo cuál da

 [pic 19]

Entonces  [pic 20]

1. E(C) = .[pic 21]

              [pic 22]

                [pic 23]

              E(C) = [pic 24]