INFERENCIA ESTADISTICA: ESTIMACIÓN.

...

Si usted conoce la población, puede determinar la distribución de muestreo. Sin embargo, puede obtener información útil sobre la distribución de muestreo sin conocer la población. Por ejemplo, si no conoce la población, podría decir que existe un 85% de certeza de que la media de la muestra esté dentro de un cierto número de desviaciones estándar de la media de la población. También podría decir que, si las medias de dos poblaciones son iguales, la diferencia entre las medias de las muestras debería ubicarse entre ciertos valores.

2.3 Estimación puntual

Cuando queremos realizar un estudio de una población cualquiera de la que desconocemos sus parámetros, por ejemplo su media poblacional o la probabilidad de éxito si la población sigue una distribución binomial, debemos tomar una muestra aleatoria de dicha población a través de la cual calcular una aproximación a dichos parámetros que desconocemos y queremos estimar. Bien, pues esa aproximación se llama estimación.

Una estimación puntual del valor de un parámetro poblacional desconocido (como puede ser la media µ , o la desviación estándar σ ), es un número que se utiliza para aproximar el verdadero valor de dicho parámetro poblacional. A fin de realizar tal estimación, tomaremos una muestra de la población y calcularemos el parámetro muestral asociado (x para la media, s para la desviación estándar, etc.). El valor de este parámetro muestral será la estimación puntual del parámetro poblacional.

Por ejemplo, supongamos que la compañía Sonytron desea estimar la edad media de los compradores de equipos de alta fidelidad. Seleccionan una muestra de 100 compradores y calculan la media de esta muestra, este valor será un estimador puntual de la media de la población.

¿Qué propiedades debe cumplir todo buen estimador?

Insesgado: Un estimador es insesgado cuando la media de su distribución muestral asociada coincide con la media de la población. Esto ocurre, por ejemplo, con el estimador x, ya que µ x = µ y con estimador p´ ya que p µ = p′

• De varianza mínima: La variabilidad de un estimador viene determinada por el cuadrado de su desviación estándar. En el caso del estimador x, su desviación estándar es n x σ = σ, también llamada error estándar de µ.

En el caso del error estándar de p´, n p p p ´*(1− ´) σ ′ = Observar que cuanto mayor sea el tamaño de la muestra n, menor será la variabilidad del estimador x y de p´, por tanto, mejor serán nuestras estimaciones.

La estimación de parámetros tiene por finalidad asignar valores a los parámetros poblacionales a partir de los estadísticos obtenidos en las muestras. Dicho de otra manera, la finalidad de la estimación de parámetros es caracterizar las poblaciones a partir de la información de las muestras (por ejemplo, inferir el valor de la Media de la población a partir de los datos de la muestra).

Las medias o desviaciones estándar calculadas de una muestra se denominan ESTADÍSTICOS, podrían ser consideradas como un punto estimado de la media y desviación estándar real de población o de los PARAMETROS.

¿Qué pasa si no deseamos una estimación puntual como media basada en una muestra, qué otra cosa podríamos obtener como margen, algún tipo de error?

“Un Intervalo de Confianza”

ESTIMADOR PUNTUAL → Utiliza un estadístico para estimas el parámetro en un solo valor o punto.

“Ejemplo”

El gerente de una tienda puede seleccionar una muestra de n = 500 clientes y hallar el gasto promedio de sus clientes de [pic 32] = 371.00.

[pic 33]

Estimadores puntuales que consisten en un sólo valor o estadística muestral que se usa para estimar el verdadero valor del parámetro poblacional.[pic 34]

---------------------------------------------------------------

2.4 Estimación de intervalo

Dada una población X, que sigue una distribución cualquiera con media µ y desviación estándar σ.

1. Sabemos (por el TCL) que, para valores grandes de n, la media muestral x sigue una distribución aproximadamente normal con media µ x = µ y desviación estándar n x σ = σ.

2. Por otra parte, el Teorema de Chebyshev nos dice que, en una distribución normal, aproximadamente un 95% de los datos estaban situados a una distancia inferior a dos desviaciones estándar de la media. De lo anterior se deduce que: ( − 2 x − σ − P µ > x + σ ( − 2

Por tanto, ésta última fórmula nos da un intervalo de valores tal que la probabilidad de que la media de la población µ esté contenida en él es de 0,95. Este tipo de intervalos se llaman intervalos de confianza de un parámetro poblacional. El nivel de confianza (1 - α) del intervalo es la probabilidad de que éste contenga al parámetro poblacional. En el ejemplo anterior, el nivel de confianza era del 95% (α = 0,05).

La estimación por intervalos consiste en establecer el intervalo de valores donde es más probable se encuentre el parámetro. La obtención del intervalo se basa en las siguientes consideraciones:

a) Si conocemos la distribución muestral del estimador podemos obtener las probabilidades de ocurrencia de los estadísticos muestrales.

b) Si conociéramos el valor del parámetro poblacional, podríamos establecer la probabilidad de que el estimador se halle dentro de los intervalos de la distribución muestral.

c) El problema es que el parámetro poblacional es desconocido, y por ello el intervalo se establece alrededor del estimador. Si repetimos el muestreo un gran número de veces y definimos un intervalo alrededor de cada valor del estadístico muestral, el parámetro se sitúa dentro de cada intervalo en un porcentaje conocido de ocasiones. Este intervalo es denominado "intervalo de confianza".

“Ejemplo”

Se generan 100000 muestras aleatorias (n=25) de una población que sigue la distribución Normal, y resulta:

[pic 35]

La distribución de las Medias muestrales aproxima al modelo Normal:

[pic 36]

En