RAÍCES CARACTERÍSTICAS

...

La condición de magnitud me permite determinar los valores de k una vez que ya se dibujó el lugar geométrico de las raíces.

[pic 42]

Entonces los valores de s que cumplen tanto las condiciones de ángulo asi como las de magnitud son las raíces de la ecuación característica o los polos en lazo cerrado.

PAUTAS GENERALES PARA CONSTRUIR LOS LUGARES GEOMÉTRICOS DE LAS RAÍCES.

Primero obtenemos la ecuación característica:

[pic 43]

- Ubicamos los polos y ceros de en el plano s (POLOS DE LAZO ABIERTO). Donde las ramificaciones del lugar geométrico de las raíces empiezan en los polos en lazo abierto y terminan en los ceros.[pic 44]

- Determinamos los lugares geométricos de las raíces sobre el eje real.

Se determinan mediante los polos y ceros en lazo abierto que se encuentran sobre él.

- Determinamos las asíntotas de los lugares geométricos de las raíces.

Los lugares geométricos de las raíces para valores de s muy grandes deben ser asintóticos para líneas rectas cuyos ángulos se obtienen mediante:

[pic 45]

Donde:

n= número de polos finitos de [pic 46]

m= número de ceros finitos de [pic 47]

- Encontramos los puntos de desprendimiento y de ingreso. Estos puntos se encuentran sobre el eje real o bien en pares complejos conjugados.

El punto de desprendimiento corresponde a un punto en el plano s en el cual ocurren raíces múltiples de la ecuación característica.

La forma de hallar los puntos es resolviendo la ecuación, es decir determinar sus raíces

[pic 48]

Cabe señalar que no todas las soluciones de la ecuación anterior corresponden a puntos de desprendimiento reales, es decir si una raíz no está en la parte del eje real del lugar geométrico, esta no corresponde a un desprendimiento ni a un punto de ingreso.

- Determinamos los ángulos de salida y los ángulos de llegada del lugar geométrico de las raíces.

El ángulo de salida o llegada denotan el ángulo de la tangente del lugar geométrico cerca del punto, lo podemos determinar de la siguiente manera:

[pic 49]

Donde:

[pic 50]

[pic 51]

[pic 52]

[pic 53]

[pic 54]

[pic 55]

[pic 56]

[pic 57]

- Encontramos los puntos en los que los lugares geométricos de las raíces cruzan al eje imaginario.

Los puntos en los que los lugares geométricos de las raíces intersectan al eje jw se encuentran con facilidad por medio del criterio de Routh o suponiendo que s=jw en la ecuación característica, igualando a cero la parte real y la parte imaginaria y despejando w y k

.

- Tomamos una serie de puntos de prueba en la vecindad amplia del origen del plano s, trace los lugares geométricos.

- Determinamos los polos en lazo cerrado. Luego se establece un valor K que corresponde a cualquier punto s sobre el lugar geométrico de las raíces el cual podemos calcular a partir de:

[pic 58]

EFECTO DE AÑADIR POLOS Y CEROS A G(s)H(s)

La adición de polos a G(s)H(s)

Añadir un polo a G(s)H(s) tiene el efecto de desplazar el lugar geométrico de las raíces hacia el semiplano derecho del plano s .

Sea el sgte ejemplo:

[pic 59]

Si agregamos a la función un polo en s=-b tendremos:

[pic 60]

En el cual las asíntotas cambian desde +-90 hasta+-60

La intersección de las asíntotas se mueve desde –a/2 hasta -(a+b)/2 sobre el eje real.

Si G(s)H(s) representa la función de lazo se puede volver inestable si los valores de k exceden el valor crítico de la estabilidad, mientras que el sistema que se muestra siempre es estable para k>0.

[pic 61]

Adición de ceros a G(s)H(s)

El añadir ceros en el semiplano izquierdo a la función G(s)H(s) generalmente tiene el efecto de mover y colocar el lugar geométrico de las raíces hacia el semiplano izquierdo del plano s.

Aquí el sistema se vuelve más estable. (Estable para todos los valores de ganancia)

Se acelera el asentamiento de la respuesta.

Físicamente significa agregar un control derivativo al sistema.

Mostramos el lugar geométrico de un sistema de tres polos al cual se le va añadiendo ceros.

[pic 62]