Maquinas y mecanismos.

...

Ejemplo:

A = { 1, 2, 3 }; B = { 2, 4, 6, 8 }

Pueden ser conjuntos universales:

U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, .............}

U = = {x / x ∈ N }

* Gráficamente el conjunto universal se representa generalmente mediante un rectángulo.

ILUSTRACIÓN RESUMEN

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[pic 14][pic 15]

[pic 16]

EJERCICIOS GRUPO 1

1. Dado el conjuntos A = { a, { a }, ∅ }. Indicar cuales de las siguientes proposiciones son verdaderas.

- { a } ∈ A d. ∅ ∈ A

- El conjunto ∅ ∈ A e. ∅ = { ∅ }

- { a, { a } } ∈ A

2. Señalar cuales de las siguientes proposiciones son verdaderas.

- ∅ = { }.

- A = { x ∈ R / x2+1 = 0 } es un conjunto no vacío.

- B = { x ∈ R / x3 + 2x = 0 } es unitario.

- El conjunto A = { -1, 1, 3, 5, ..........} por comprensión es

A = { x / x = 2n - 3, n ∈ Z+ }.

- Si W = { x / x ∈ R, x2 – 23 = 2 }, entonces –5 ∉ W.

3. Determinar por extensión los siguientes conjuntos:

- A = { x ∈ N / x - 1 • 5 }

- C = { x ∈ Z / - 2 • x ≤ 3 }

- M = { x / x es un pronombre personal en Inglés }

4. Determinar por comprensión los siguientes conjuntos

- A = { 4, 6, 8, 10 }

- X = { 3, 5, 7, 9, ..........}

- Y = { 1, 4, 9, 16, 25, ..............}

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CLAVE DE RESPUESTAS

1. Son verdaderas a y d.

2. Son verdaderas a, b y c.

3. a. A = { 5, 4, 3, 2, 1, 0 } b. C = { -1, 0, 1, 2, 3 }

c. M = { I am, You are, She is, He is, It is, We are, You are, They are }.

4. a. A = { x / x es par ∧ 4 ≤ x ≤ 10 }

b. X = { x / x es impar ∧ x ≥ 3 }

c. Y = { x / x ∈ Z+ ∧ x2}

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[pic 20]

CUANTIFICADORES Y CONJUNTOS

Una función proposicional P(x), relacionada con una proposición cuantificacional, se convierte en una proposición lógica ( V ó F ) de acuerdo con el valor que asume la variable x.

Por ejemplo, la función P(x): x2 - 4 = 0 es una función preposicional que se convierte en verdadera si x = 2 ó x = -2, y es falsa cuando x toma otros valores.

Ahora consideremos un conjunto cualquiera A, por ejemplo :

A = { -2, 1, 2, -3, 0 }

La proposición:

“Existe por lo menos un x ∈ A, tal que se verifica P(x)”

ó equivalentemente:“∃ x ∈ A / P(x)”,

es verdadera, pues existe x = -2 ∈ A, tal que: x2 – 4 = 0.

Así mismo, la proposición:

“Para todo x ∈ A, se verifica P(x)” ó equivalentemente “∀ x ∈ A / P(x)”, es falsa, pues no todo elemento de A, verifica x2 - 4 = 0, basta tomar x =1∈ A / 12 - 4 es diferente de 0.

A la frase: “Existe un”, “Para algún” ó ”Algunos”, etc. que denota una parte de un universo, se llama cuantificador existencial y se denota por ∃; mientras que a la frase: “Para todo”, “Para cada” ó “Para cualquier”, etc. que denota la totalidad de objetos, se llama cuantificador universal y se denota por ∀.

- Negar que existe un x ∈A, tal que se verifica P(x); equivale a decir que: Ningún x ∈ A, verifica P(x), ó que: Todo x, no verifica P(x); simbólicamente:

~[∃ x ∈ A / P(x)] ⇔ ∀ x ∈ A / ~ P(x).

2. Negar que para todo x∈A, verifica P(x), equivale a decir que: Para algunos x∈A, no se verifica P(x); simbólicamente:

~[∀ x ∈ A / P(x)] ⇔∃ x ∈ A / ~ P(x)

Ejemplo 01: Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones, siendo el conjunto A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }.

a. ∀ x ∈ A / x2 - 5x + 6 = 0.

b. ∃ x ∈ A / x3 + x2 - 2x = 0.

c. ∀ x∈ A,∃ y ∈ A / x + y ≤ 4

Solución:

a. Es falsa, pues x2 -4x + 5 = 0 se cumple sólo para x = 1, y x = 5 y no para todos los demás elementos de A.

b. Es verdadera, puesto que la ecuación x3 + x2 - 2x = 0 tiene dos soluciones x = 0, y x = 1 en el conjunto A; bastaba que hubiera una.

c. Es falsa, pues para 5 ∈ A no existe ningún valor y ∈ A / 5 + y ≤ 4.

∀ x ∈ A ∃ y ∈ A / x + y ≤ 4

0

2

0 + 2 ≤ 4

1

3

1 + 3 ≤ 4

2

0

2 + 0 ≤ 4

3

1

3