Cambio de variables.

...

[pic 64][pic 65]

A continuación presentamos ejemplos en los cuales las integrales necesitan cambios de variable.

Ejemplo 3.-Utilizando un cambio de variable adecuado, calcular la integral:[pic 66], donde E es la región limitada por las curvas

[pic 67]

Solución

Graficar la región E

[pic 68]

Debemos transformar la región E dada por ecuaciones

[pic 69],[pic 70], [pic 71]

en otra más sencilla (en triangulo por tener 3 vértices). Para ello tratemos de relacionar las tres ecuaciones entre sí buscando alguna relación sencilla en términos de [pic 72] .

Si hay alguna ecuación que tiene una constante, como la 3ra, se sugiere despejar la constante, para luego tener [pic 73] . Comparando las tres ecuaciones, tenemos:

[pic 74]

Haciendo las sustituciones: [pic 75] se tiene que en el plano UV se cumple

[pic 76]

Necesitamos despejar [pic 77]en función de [pic 78]. Podemos ver, que se cumple la siguiente propiedad:

[pic 79]

Calculando el jacobiano[pic 80]se tiene

[pic 81]

Luego:

[pic 82]

Ejemplo 4.- Sabiendo que el área de un círculo de radio R es igual a:[pic 83]. Calcular el área de la región E encerrada por la elipse [pic 84].

Solución

[pic 85]

Si definimos la transformación [pic 86] tal que [pic 87], es decir[pic 88]entonces, en el plano [pic 89] la ecuación correspondiente a la elipse de la frontera de E

[pic 90]es[pic 91]

obteniéndose la región en UV

[pic 92] = círculo de radio 1

De modo tal que su imagen T es E

[pic 93][pic 94][pic 95][pic 96][pic 97]

Como el jacobiano de T es:

[pic 98]

Para calcular el área de E tomamos [pic 99]constante

[pic 100]

Ejemplo 5.-Calcular la integral doble [pic 101], donde D es la región limitada por las parábolas [pic 102]

Solución

Transformando la región [pic 103] Para esto hacemos el siguiente cambio de variable:

[pic 104]

Por lo tanto, la región D se transforma en la región R, donde [pic 105]. Graficando las regiones se tiene :

[pic 106][pic 107]

[pic 108] [pic 109][pic 110][pic 111][pic 112][pic 113][pic 114][pic 115][pic 116][pic 117]

Ahora calculamos el jacobiano

[pic 118]