Demostración de la ecuación cuadrática

...

Ahora veamos cómo resolver ese problema, escribamos la ecuación de otra forma.

Teniendo

[pic 29][pic 30]

Multiplicamos la ecuación completa por 4a de esta forma obtendremos un factor común.

4a ( )[pic 31][pic 32]

[pic 33][pic 34]

Con la expresión que nos ha resultado, hacemos el siguiente razonamiento, se sabe que el desarrollo de un binomio al cuadrado produce un resultado de tres términos y el primero posee la variable elevada al cuadrado y el término central del desarrollo del binomio es igual al doble producto del primer término por el segundo.

Es decir:

= + [pic 35][pic 36][pic 37]

Suponiendo que en un desarrollo de un binomio cualquiera, el termino de nuestra ecuación[pic 38]

Representa el primer término elevado al cuadrado tendremos que:[pic 39][pic 40]

= [pic 41][pic 42]

Extrayendo la raíz cuadrada a ambos miembros se tendrá que

= [pic 43][pic 44]

[pic 45]

Es decir el primer término de nuestra transformación a un binomio será [pic 46]

Luego de nuestra ecuación:[pic 47]

[pic 48][pic 49]

Sabiendo que el término central es 2ab es decir el doble producto del primer término por el segundo tendremos entonces que:

Termino central = 2ab y por otro lado tenemos que

[pic 50]

Es decir 2ab = 2(2ax) (b) esto se deduce sustituyendo el valor de en el Termino central que es 2ab[pic 51]

Luego como 2ab = 2(2ax) (b) = 4abx

Es decir, como de forma automática obtenemos el término central de nuestra ecuación: [pic 52][pic 53]

Se sobre entiende que el segundo termino de la transformación a binomio es b.

Ahora con lo deducido tendremos lo siguiente.

Nuestra ecuación multiplicada toda por 4a era:

[pic 54][pic 55]

Con la transformación a binomio tendremos que nuestro binomio, de tal forma que podamos obtener los términos de la ecuación

Seria: [pic 56][pic 57]

[pic 58]

Desarrollando este binomio obtenemos lo siguiente:

= [pic 59][pic 60][pic 61]

Como puede observar hay un término que no debería aparecer que es el termino en rojo ( ), ya que este término altera la ecuación inicial que es:[pic 62]

[pic 63][pic 64]

Por tanto, nos basta con sustraer al binomio dicho término en rojo valga la redundancia y agregar el término en verde que coloqué en nuestra ecuación en el paso previo de forma que completemos la ecuación, es decir escribimos entonces:

[pic 65][pic 66][pic 67]

Luego comprobemos que esta forma escrita satisface la ecuación inicial que es:

[pic 68][pic 69]

Desarrollando la expresión tendremos:

[pic 70][pic 71][pic 72]

[pic 73][pic 74][pic 75][pic 76]

[pic 77][pic 78]

Es decir hemos hecho la demostración y se verifica que escribiendo la ecuación de esta forma obtenemos la inicial multiplicada por 4a

Note que el multiplicar por 4a la ecuación inicial no la altera debido a que multiplicar una misma identidad completa por una expresión, a esta no se le altera su valor.

Luego trabajando la última expresión que obtuvimos podemos despejar el valor de la variable equis (x) ya que no aparece elevada al cuadrado. Procedemos a despejar.

[pic 79][pic 80][pic 81]

[pic 82]

Luego extrayendo raíz cuadrada a ambos miembros:

[pic 83]

[pic 84]

[pic 85]

Fíjese que introducimos el signo más o menos antes de la raíz porque recuerde que como se extrae la raíz cuadrada, todo valor positivo o negativo al ser elevado al cuadrado da un valor positivo, es decir sin importar el valor de la raíz, dicho termino se toma tanto positivo como negativo ya que ambos satisfacen como termino a la raíz en esta ecuación. La raíz en esta ecuación es el término discriminante.

Finalmente:

[pic 86]

Por eso ya sabe entonces… cuando resuelva la ecuación que dimos de ejemplo:

+ + 6 = 0[pic 87][pic 88]

Ya sobre entiende que los coeficientes a utilizar son:

[pic 89][pic 90][pic 91]

Pues esas son las posiciones utilizadas en la ecuación general de segundo grado. Finalmente ya sabe de dónde viene dicha ecuación. Espero esto le sea de gran ayuda.