Digitalizacion del sonido.
Enviado por Helena • 11 de Marzo de 2018 • 2.474 Palabras (10 Páginas) • 218 Visitas
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Representación del sonido
Las ondas sonoras son del tipo longitudinales, donde son efectuadas por un cambio de presión del medio en el que se transmiten, las vibraciones que son producidas por el movimiento estimula el oído humano cuando estas se encuentran entre los 20 y 20.000 (hz) de frecuencia.
Cualquier tipo de sonido puede determinarse detallando tres características las cuales son el tono, la intensidad y el timbre, que en el lenguaje matemático son representados por la frecuencia fundamental, la amplitud y los armónicos respectivamente.
Como cualquier movimiento ondulatorio, se puede representar a las ondas sonoras mediante la transformada de Fourier como una sumatoria de curvas sinusoidales caracterizadas por las mismas magnitudes y unidades de medida que a cualquier onda de frecuencia bien definida: La amplitud (A), Las longitud de onda (ƛ), el periodo (T) y la frecuencia (F).
La amplitud es el grado de movimiento de movimiento de las moléculas en la onda, matemáticamente esto representa la distancia entre el punto más alto de la onda y el eje horizontal de la misma. La amplitud se encuentra directamente relacionada con la intensidad, a mayor amplitud habrá un sonido más fuerte.
La longitud de onda señala la distancia recorrida por la onda en un tiempo determinado.
La frecuencia corresponde al número de oscilaciones por una onda efectuadas en un intervalo de tiempo, desde el punto musical esto se relaciona con la altura o tono de la nota, mientras mas grande, más alto será el tono lo que provocara un sonido agudo y mientras mas pequeño será un sonido grave.
El periodo corresponde al tiempo necesario para que la onda complete una oscilación.
En resumen la modificación de cualquiera de estos componentes provoca la modificación del sonido.
Análisis del espectro.
Es el proceso que cuantifica las diversas intensidades de cada frecuencia. Matemáticamente se relaciona directamente con la Transformada de Fourier.
A modo general tenemos una señal x(t), que significa la amplitud en función de tiempo, esta puede ser expresada como sumatoria de funciones sinusoidales mediante la fórmula de serie de Fourier.
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En dicha ecuación tenemos los cuales son coeficientes de Fourier y es la longitud de la serie. Entonces, podremos representar a la amplitud, como la transformada de Fourier de la Amplitud como , donde es la frecuencia:[pic 6][pic 7][pic 8][pic 9]
[pic 10]
Además de ello la transformada, la transformada permite sintetizar la función a través de su transformada inversa:
[pic 11]
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Figura 1: Señal.
[pic 13]
Figura 2: Espectro de frecuencia.
Transformada discreta de Fourier.
Las ecuaciones vistas anteriormente representan la definición de transformada de Fourier para las señales que son continuas con una longitud infinita. Aun así en la práctica necesitamos de la transformada discreta de Fourier.
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La importancia de la transformada discreta de Fourier es de gran necesidad para la digitalización, ya que la señal digital consta de una secuencia de valores enteros obtenidos mediante un proceso de muestro y convertidas posteriormente por un proceso de cuantificación. Lo que ocurre dentro del muestreo, es que se toman grandes cantidades de las muestras, ya que es imposible analizar el conjunto infinito de estas, conllevando a la transformada discreta para poder reconstruir la señal y su espectro.
Teorema del Muestreo
El muestreo es la conversión de una señal en tiempo continuo a una señal tiempo discreto obtenida tomando muestras de la señal en tiempo continuo en instantes de tiempo discreto. Sea g(t) una función cualquiera definida para todo t, que representa una señal analógica, y δ(t) una función tal que:
[pic 19]
el producto de ambas funciones resulta g(t)δ(t) = g(0)
que representa una muestra de la señal analógica en el instante cero. Si ahora δ(t) se recorre una constante de tiempo δ(t-T) y se realiza de nuevo el producto con la señal analógica se obtiene:
g(t) δ(t-Ts) = g(Ts)
se verifica que g(T) representa una muestra de la señal analógica en el instante t=T. Por lo tanto, el conjunto de muestras en diferentes instantes de tiempo que se obtienen de una señal analógica es :
g(t) δ(t)+ g(t) δ(t-Ts)+ g(t) δ(t-2Ts)+…+ g(t) δ(t-nTs)
pudiendo representar la señal muestreada gT(t), mediante una suma de productos de la señal analógica con los impulsos unitarios desplazados en el tiempo:
[pic 20]
Figura 2: señal muestreada a partir de la multiplicación de una señal analógica senoidal y un tren de impulsos (MATLAB)[pic 21]
por la propiedad de que cualquier producto se convierte en una convolucion en el dominio de la transformada de fourier, la señal muestreada F {}, mediante la convolucion de la transformada del tren de impulsos y la transformada de la señal analógica.[pic 22]
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F {} = GT(f) = G(f) * [pic 24][pic 25][pic 26][pic 27]
[pic 28]
figura 3: convolucion de dos espectros en frecuencia, un espectro de una señal seno con frecuencia de 25Hz y un espectro de un tren de impulsos, que genera el espectro de la señal muestrada (MATLAB)
[pic 29]
figura 4: convolucion de dos espectros en frecuencia, un espectro de una señal cualesquiera y un espectro de un tren de impulsos, que genera el espectro de la señal muestreada.
Suponiendo
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