ELECTRÓNICA Y TELECOMUNICACIONES

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Corriente positiva en un circuito L-C

Después de estudiar la primera figura, quizá parezca que el sentido positivo de la corriente va hacia atrás. En realidad, hemos elegido este sentido para simplificar la relación entre la corriente y la carga del capacitor. Se define la corriente en cada instante como , la tasa de cambio de la placa izquierda del capacitor. De ahí que si al principio el capacitor está cargado y comienza a descargarse como en la primera figura a y la primera figura b, entonces y la corriente inicial es negativa; el sentido de la corriente es, por lo tanto, opuesto al sentido (positivo) que se muestra en la segunda figura.[pic 13][pic 14][pic 15]

Se aplica la ley de Kirchhoff de las mallas al circuito en la segunda figura partiendo de la esquina inferior derecha del circuito y sumando los voltajes conforme se recorre la espira en el sentido horario y se tiene lo siguiente:

[pic 16]

Como , se deduce que = sustituimos esta expresión en la ecuación anterior y se divide entre –L para obtener:[pic 17][pic 18][pic 19]

[pic 20]

Esta ecuación tiene exactamente la misma forma que la ecuación que se obtuvo para el movimiento armónico simple esta ecuación es

[pic 21]

[pic 22]

En el circuito L-C la carga del capacitor q desempeña el papel del desplazamiento x y la corriente es análoga a la velocidad de la partícula . La inductancia L es análoga a la masa m y el reciproco de la capacitancia, , es análogo a la constante de fuerza k.[pic 23][pic 24][pic 25]

Al continuar con esta analogía recordemos que la frecuencia angula = 2 del oscilador armónico es igual a y la posición está dada por la función del tiempo por la aceleración:[pic 26][pic 27][pic 28]

[pic 29]

Donde la amplitud A y el ángulo de fase depende de las condiciones iniciales en la situación eléctrica análoga, la carga del capacitor esta dada por:[pic 30][pic 31]

[pic 32]

Y la frecuencia angular de la oscilación está dada por:[pic 33]

[pic 34]

La ecuación satisface la ecuación de las espiras, ecuación, cuando tiene el valor dado por la ecuación . Al hacer esto, encontrara que la corriente instantánea está dada por:[pic 35][pic 36][pic 37][pic 38][pic 39]

[pic 40]

Así, en un circuito L-C la carga y la corriente oscilan en forma sinusoidal con el tiempo, con una frecuencia angular determinada por los calores de L y C. la frecuencia ordinaria f, el número de ciclos por segundo, es igual a , como siempre. En las dos últimas ecuaciones, las constantes y están determinadas por las condiciones iniciales. Si en el momento la placa izquierda del capacitor de la figura tiene su carga máxima Q, y la corriente es igual a cero, entonces . Si , en el momento , entonces [pic 41][pic 42][pic 43][pic 44][pic 45][pic 46][pic 47][pic 48][pic 49]

Energía en un circuito L-C

También se puede analizar el circuito L-C desde la perspectiva de la energía. La analogía con el movimiento armónico simple es igualmente útil en este caso. En el problema mecánico, un cuerpo con masa está sujeto a un resorte con constante de fuerza . Suponga que el cuerpo se desplaza una distancia A desde su posición de equilibrio y se le libera desde el reposo en el tiempo . La energía cinética del sistema en un instante posterior es , y su energía potencial elástica es . Como el sistema es conservativo, la suma de estas energías es igual a la energía inicial del sistema es . La velocidad vx en cualquier posición x se calcula:[pic 50][pic 51][pic 52][pic 53][pic 54][pic 55]

[pic 56]

El circuito L-C también es un sistema conservativo. Otra vez, sea la carga máxima del capacitor. La energía del campo magnético, , en el inductor en cualquier momento corresponde a la energía cinética del cuerpo oscilante, y la energía del campo eléctrico en el capacitor corresponde a la energía potencial elástica del resorte. La suma de estas energías es igual a la energía total del sistema:[pic 57][pic 58][pic 59][pic 60][pic 61][pic 62]

[pic 63]

La energía total en el circuito L-C es constante; oscila entre las formas magnéticas y eléctrica, del mismo modo que la energía mecánica total en el movimiento armónico simple es constante y oscila entre las formas cinética y potencial.

Al despejar en la última ecuación se encuentra que cuando la carga en el capacitor es , la corriente es:[pic 64][pic 65][pic 66]

[pic 67]

Podemos comprobar esta ecuación si reemplazamos q en la ecuación

e de la [pic 68][pic 69][pic 70]

Al comparar las ecuaciones y se observa que la corriente t y la carga están relacionadas en la misma forma que la velocidad y la posición en el problema mecánico.[pic 71][pic 72][pic 73][pic 74][pic 75][pic 76]

Ejemplo

Una fuente de voltaje de 300v se utiliza para cargar un capacitor de 25uF, una vez que el capacitor está cargado por completo se desconecta de la fuente y se conecta a un inductor de 10mH. La resistencia en el circuito es despreciable. a) Determine la frecuencia y el periodo de oscilación en el circuito. b) Obtenga la carga del capacitor y la corriente en el circuito 1.2ms después de haber conectado el inductor y el capacitor.

- La frecuencia angular natural es

[pic 77]

=[pic 78]

La frecuencia es veces esta cantidad: [pic 79][pic 80]

= [pic 81][pic 82]

El periodo es el reciproco de la frecuencia:

s [pic 83][pic 84]

b) Como el periodo de la oscilación es , es igual a . Para encontrar el valor de , se usa la ecuación . La carga es máxima en , por lo que y [pic 85][pic 86][pic 87][pic 88][pic 89][pic 90][pic 91][pic 92]

La