EXAMEN 3 PROBABILIDAD

...

y se calcula mediante la formula:

[pic 3] Si P(A) = 0, entonces P (B/A), no esta definida.

Ejemplos.

A.- Se lanza un dado y se obtiene un número par. ¿Cuál es la probabilidad de que el número obtenido sea múltiplo de 3?

Solución: Sea A, el evento de obtener un número par, y sea B el evento de obtener un número múltiplo de 3, entonces el evento común entre los sucesos A y B será A∩B. El espacio muestral del lanzamiento de un dado es 6, ahora bien los diferentes eventos del problema serán:

A = ⎨2, 4,6⎬, entonces P(A) = 3/6

B = ⎨3, 6⎬.

A∩B = ⎨6⎬, luego P(A∩B) = 1/6

[pic 4]

Este problema también se puede resolver aplicando una tabla o matriz de doble entrada, en donde se observan todos los eventos del problema planteado, observemos la siguiente tabla:

Números Múltiplos

De

3

Números no

Múltiplos

de

3

TOTAL

Eventos que

Son pares

6

2, 4

3

Eventos que No son pares

3

1, 5

3

TOTAL

2

4

6

Solución: En esta tabla se observa que los eventos pares en total son 3, por lo tanto el espacio muestra original que era 6 se redujo a 3. En la fila de los eventos que son pares se observan los que cumplen con la condición de ser múltiplo de 3, por lo tanto es un solo caso favorable, de la misma forma se observa que solo hay 3 caso posibles de números pares, luego la probabilidad buscada será el cociente que resulta de:

[pic 5] esta es la probabilidad buscada.

C.- Las probabilidades de que A y B resuelvan un determinado problema son 2/3 y 3/4 respectivamente. Encuentre la probabilidad de que el problema sea resuelto cuando menos por uno de los dos.

Solución: Este problema quedará resuelto si A y B no fallan simultáneamente en la solución del mismo. Para ello calculamos la probabilidad de fallar de A y B así:

P(A) = 1−q, entonces, q =1−P(A) = 1−2/3 = 1/3, luego la probabilidad de fallar el evento B es así:

q = 1−P(B) = 1−P(B) = 1−3/4 =1/4.. Si la probabilidad de fallar A se le denomina P(A1), entonces la de fallar B será P(B1), luego tenemos que P(A1) = 1/3 y P(B1) =1/4, ahora calculamos la probabilidad conjunta de A1 y B1 así: P(A1∩B1) = p(A1) P(B1) = 1/3 x 1/4 = 1/12, esta es la probabilidad conjunta de fallar A y B, ahora bien, para saber cual es la probabilidad de acertar aplicamos la formula: P = 1−q, como q = 1/12, esta es la probabilidad de fallar conjuntamente A y B, entonces se tiene que:

P = 1−1/12 = 11/12 = 0.9167 = 91.67 %, esta es la probabilidad de que el problema sea resuelto cuando menos por uno de los dos.

PREGUNTA 8.- Establecer el Concepto de eventos independientes y dar 3 ejemplos:

Los eventos aleatorios con reposición son característicos de los eventos independientes. estos son empleados en la probabilidad conjunta

La formula de la probabilidad conjunta para eventos independientes será:

P(A∩B) = P(A) P(B).

Eventos independientes

A.- ¿Cuál es la probabilidad de sacar 2 ases consecutivos en 2 cartas tomadas al azar de un juego ordinario de barajas de 40 cartas, si se sustituye la primera carta antes de tomar la segunda?

Solución: Este es un problema de probabilidad conjunta para eventos independientes por cuanto son suceso aleatorio con sustitución. El espacio muestral es 40; un juego de barajas tiene 4 ases, por lo tanto la probabilidad de sacar un as es P(4/40)= 1/10. Si llamamos A, el evento de sacar la primera carta y B el suceso de sacar la segunda carta, entonces:

P(A) = P(B) = 1/10, ahora se aplica la formula de la probabilidad conjunta para eventos independientes así:

P(A∩B) = P(A) PB) = 1/10 x1/10 = 1/100 = 0.01 = 1.0 %, esta es la probabilidad buscada.

B.- ¿Cuál es la probabilidad de obtener 2 caras en 2 lanzamientos al aire de una moneda normal de 5 bolívares?

Solución: Los eventos son independientes y la probabilidad de sacar una cara en una moneda es 1/2. Si llamamos A, el evento de sacar cara en el primer lanzamiento y se llama B el evento de sacar cara en el segundo lanzamiento, entonces:

P(A) = P(B) = 1/2. Luego la probabilidad conjunta para eventos independientes se calcula con la formula:

P(A∩B) = P(A) P(B). = 1/2 x 1/2 = 1/4 = 0.25 = 25.0 %, esta es la probabilidad buscada.

C.- ¿ Cuál es la probabilidad de sacar primero cuatro números 3 y después otro número diferente de 3 en 5 tiros de un dado equilibrado?.

Solución: Los 5 tiros del dado son independientes, el obtener un número determinado en un dado tiene una probabilidad de 1/6, puesto que el espacio muestral del lanzamiento de un dado posee 6 eventos diferentes. Ahora bien la probabilidad de obtener un número diferente de 3 es:

1 − 1/6 = 5/6. Si llamamos A, B, C y D los eventos de obtener un 3 y llamamos E el suceso de sacar un número diferente de 3, entonces las probabilidades de A, B, C, D y E, serán:

P(A) = P(B) = P(C) = P(D) = 1/6, y P(E) = 5/6, por ser el problema una probabilidad conjunta de eventos independientes se aplicará a siguiente formula: