EXPERIMENTO ALEATORIO, ESPACIO MUESTRAL Y EVENTOS

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Experimento Resultados

- Lanzamiento de un dado. 1,2,3,4,5,6

- Lanzamiento de una moneda cara o cruz

- Examen de un producto defectuoso o no defectuoso.

Ya que el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento se llama “espacio muestral”, lo vamos a simbolizar por la letra S. asi en el experimento del lanzamiento de un dado el espacio muestral es S=(1,2,3,4,5,6); los elementos 1,2,3,4,5,6 son los puntos muéstrales.

En el lanzamiento de una moneda es espacio muestral es S(H,T) donde H es cara y T es cruz. Si representamos por n(S) para el número de puntos muéstrales del espacio muestral, entonces n(S) para el lanzamiento de un dado es 6 puntos muéstrales. Para el lanzamiento de una monedad n(S)= 2 puntos muéstrales.

Ejemplos

- En el lanzamiento de un par de dados, n(S) vale 36 puntos muéstrales; es decir n(S)=36 punto muéstrales cuyos valores son los siguientes:

S= {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6) …… (6,)}

Este espacio muestral está dado por el producto cartesiano A x B donde

A y B son cada uno iguales a {1,2,3,4,5,6}

Para visualizar mejor este espacio muestral, se presenta la siguiente gráfica:[pic 1]

Cada cara de dado “X” se combina con cada cara del dado “Y”.

Cada punto de la gráfica representa un par ordenado: por ejemplo:

(1,1); (1,2); (1,3); (1,4); (1,5); (1,6); (2,1) … (6,6).

- En el lanzamiento de dos monedas, n(S) vale 4 p.m cuyos resultados o puntos muéstrales son:

S = {(HH), (HT), (TH), (TT)}1

- Si se juegan simultáneamente tres monedas o lo que es lo mismo lanzar una moneda tres veces:

n (S) = 8 p.m.

Una forma fácil y didáctica de determinar todos los resultados posibles es utilizando el diagrama del árbol:

[pic 2]

- Un experimento consiste en seleccionar tres tubos de TV de un pedido y observar si son o no defectuosos.

Sea: D = Tubo defectuosos.

D = Tubo no defectuoso.

Siguiendo la técnica de diagrama de árbol, se tiene:

S = {(DDD), (DDD”), (DD’D), (DD’D’), (D’DD), (D’DD), (D’D’D), (D’D’D`)}

Es decir n(S)= 8 puntos muestrales.

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EVENTOS

Es un espacio muestral finito, cualquier subconjunto de puntos muéstrales se llama evento. Por ejemplo en el experimento: ”lanzamiento de un dado”, el espacio muestral sabemos que es S={1,2,3,4,5,6}; en este experimento llamemos E al suceso “aparecimiento de cifra impar” y m (E) al número de puntos muéstrales del evento E; entonces el subconjunto E={1,3,5} constituye un evento, siendo m (E)=3 puntos muéstrales.

EJEMPLOS:

- En el experimento: “lanzamiento de dos dados” sea:

E1 = “Suma de las caras sea igual a 8”, entonces:

E1 = {(2,6), (3,5), (4,4), (5,3)} y m (E1) = 5 p.m.

- E2 = “suma de las caras sea mayor que 12”, entonces

E2 = ø, ya que ø es un conjunto que no tiene elementos o sea el conjunto vacío.

- E3 = “la suma de las caras es mayor o igual a 2 y menor o igual a 12”, luego E3 = {3} ya que S es un subconjunto que contiene todos los elementos del espacio muestral

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DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD

La palabra probabilidad se usa para indicar la posibilidad o no de que ocurra un acontecimiento. Hay tres concepciones sobre la definición de probabilidad: la clásica, la empírica y la subjetiva.

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DEFINICIÓN CLÁSICA

La definición clásica se usa cuando un experimento puede tener solamente ciertos resultados definidos, cada uno de los cuales es igualmente probable. Si tenemos n resultados posibles de un experimento, la probabilidad para cualquiera de ellos es . Así en el experimento del lanzamiento de un dado, la probabilidad de que caiga la cara 4 es ; la misma respuesta seria para cualquiera de los cinco resultados: 1,2,3,5,6. En general podemos escoger un evento E que tiene m(E) puntos muéstrales y preguntar cuál es la probabilidad de obtener un resultado que pertenezca a ese evento al efectuar el experimento una sola vez; entonces, la probabilidad es E es[pic 3][pic 4]

P (E) = M(E) = Casos favorables al suceso E

n(S) Casos igualmente posibles

Ejemplo

- Una caja contiene 5 bolas blancas y 10 negras, y hacemos una extracción de ella.

- ¿Cuál es la probabilidad de que la bola sea blanca?

Solución:

Sea

B = bola blanca; entonces m(B)= CASOS FAVORABLES

N = bola negra;

N(s) = 15 bolas, casos igualmente posibles; luego

P(B) = 5 = 1

15 3

- ¿Cuál es la probabilidad de que la bola sea negra?

Solución:

P(N)= 10 = 2

15 3

NOTA: Como puede observase la probabilidad de que salga bola negra resulto mayor, ya que hay más bolas negras que blancas; por lo tanto, el evento bola blanca tiene menos probabilidades de ocurrir.