Estadistica descriptiva.

...

c) Conteste entre cuatro y seis ítems bien d) Conteste todos los ítems bien

e) Conteste menos de tres ítems bien

Solución:

Sea X = "contestar ítems bien en el test", la variable sigue una distribución binomial

n = 10 , p = 1 = 0, 25 , b(10 , 0, 25) , P( X = k) = ⎛10 ⎞ .0,25 k . 0, 7510 −k

---------------------------------------------------------------

k = 0,1,,10

⎜ ⎟[pic 15]

4 ⎝ ⎠

a) P( X = 0) = ⎛10 ⎞ . 0, 250 . 0, 7510 = 0, 25 0 . 0, 7510 = 0, 0563[pic 16][pic 17]

⎝ ⎠

b) P( X ≥ 4) = 1− P( X • 4) = 1− (P( X = 0) + P( X = 1) + P( X = 2) + P( X = 3)) =

⎡⎛10 ⎞ ⎛10 ⎞ ⎛10 ⎞ ⎛10 ⎞ ⎤

= 1− . 0, 250 . 0,7510 + . 0, 251 . 0,759 + .0, 252 . 0,758 + . 0, 253 . 0,757 =

⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎥[pic 18]

⎣⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎦

= 1− [0, 0563 + 0,1877 + 0,2816 + 0,2503] = 0,2241

c) P(4 ≤ X ≤ 6) = P( X = 4) + P( X = 5) + P( X = 6) =

= ⎛10 ⎞ . 0, 254 . 0,756 + ⎛10 ⎞ . 0, 255 . 0,755 + ⎛10 ⎞ . 0, 256 .0, 754 = 0,1460 + 0, 0584 + 0,0162 = 0, 2206[pic 19][pic 20]

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

d) P( X = 10) = ⎛10 ⎞ .0, 2510 .0, 750 = 0[pic 21][pic 22]

⎝ ⎠

e) P( X • 3) = P( X = 0) + P( X = 1) + P( X = 2) =

= ⎛10 ⎞ .0, 250 . 0, 7510 + ⎛10 ⎞ . 0, 251 . 0, 759 + ⎛10 ⎞ . 0, 252 . 0, 758 = 0, 0563 + 0,1877 + 0, 2816 = 0, 5256[pic 23][pic 24]

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

---------------------------------------------------------------

Ejercicio 3.- Una compañía de seguros garantiza pólizas de seguros individuales contra retrasos aéreos de más de doce horas. Una encuesta ha permitido estimar a lo largo de un año que cada persona tiene una probabilidad de cada de mil de ser víctima de un retraso aéreo que esté cubierto por este tipo de póliza y que la compañía aseguradora podrá vender una media de cuatro mil pólizas al año.

Se pide hallar las siguientes probabilidades:

a) Que el número de retrasos cubiertos por la póliza no pase de cuatro por año b) Número de retrasos esperados por año

c) Que el número de retrasos sea superior a dos por año d) Que ocurran doce retrasos por año

Solución:

Sea X = "número de retrasos por año", la variable sigue una distribución binomial

n = 4000 , p = 1 = 0, 001 , b(4000 , 0, 001)

1000

con lo que,

---------------------------------------------------------------

P( X = k) = ⎛ 4000 ⎞ . 0, 001k . 0, 9994000 −k

---------------------------------------------------------------

k = 0,1,, 4000

⎜ k ⎟

⎝ ⎠

Es necesario buscar una distribución que sea una buena aproximación de ésta. La distribución de Poisson es una buena aproximación de la binomial b(4000 , 0,001) , ya que p = 0, 001 es muy pequeña y n.p = 4000 . 0, 001 = 4 • 5 .

Por tanto, X b(4000 , 0, 001) ≈

---------------------------------------------------------------

X P(λ = n.p = 4)

---------------------------------------------------------------

4 k

P( X = 4) = . e−4

k!

a) P( X ≤ 4) = P( X = 0) + P( X = 1) + P( X = 2) + P( X = 3) + P( X = 4) =

⎡ 4 0 41 4 2 4 3 4 4 ⎤[pic 25]

= ⎢ + + + + ⎥ . e = 1+ 4 + 8 + 10, 667 + 10, 667 . e = 0, 6289

⎣ 0! 1! 2! 3! 4! ⎦

b) El número de retrasos esperado por año es la media μx = λ = 4

c) P( X • 2) = 1− P( X ≤ 2) = 1− [P( X = 0) + P( X = 1) + P( X = 2)] =

⎡ 4 0 41 4 2 ⎤[pic 26]

= 1− ⎢ + + ⎥ . e = 1− 1+ 4 + 8 . e = 1− 0, 381 = 0, 7619

⎣ 0! 1! 2! ⎦

41 2

d) P( X = 12) = . e−4 = 0,035 . e−4 = 0,00064

12!

---------------------------------------------------------------

Ejercicio 4.- Para El tiempo empleado, en horas, en hacer un determinado producto sigue una distribución N(10, 2) . Se pide la probabilidad de que ese producto se tarde en hacer:

a) Menos de 7 horas b) Entre 8 y 13 horas

Solución:

a) P [x • 7] =

---------------------------------------------------------------

P ⎡ x − 10 • 7 − 10 ⎤ = P [z • −1, 5] = P [z • 1, 5] = 0, 0668

tipificando

---------------------------------------------------------------