GEOMETRÍA ANALÍTICA LA HIPÉRBOLA
Enviado por Rebecca • 6 de Diciembre de 2018 • 4.918 Palabras (20 Páginas) • 242 Visitas
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( c x - a 2 ) 2 = ( a (x - c ) 2 + y 2 ) 2
[pic 18]
c 2 x 2 - 2 a 2 c x + a 4 = a 2 x 2 - 2 a 2 c x + a 2 c 2 + a 2 y 2 c 2 x 2 - a 2 x 2 - a 2 y 2 = a 2 c 2 - a 4
Factorizando:
( c 2 - a 2 ) x 2 - a 2 y 2 = a 2 ( c 2 - a 2 )
...........................................................................(2)
Para transformar más esta ecuación, tomaremos en cuenta, refiriéndonos al triángulo F1MF2 de nuestra Figura 2, que cada lado es mayor que la diferencia de los otros dos; esto nos permite escribir que:
F 1 F 2 > M F 1 - M F 2
[pic 19][pic 20][pic 21]
Pero como F 1 F 2 = 2 c y tomando en consideración la ecuación (1), se tiene:
[pic 22][pic 23]
2 c > 2 a
Dividiendo entre dos y elevando al cuadrado.
c > a
c 2 > a 2
Por tanto:
[pic 24]
c2 − a2 > 0
Como la última desigualdad expresa que la diferencia c2 – a2 es constante y positiva, podemos expresarla de la siguiente manera por otra constante b2:
[pic 25]
c 2 - a 2 = b 2
Sustituyendo en la ecuación (2) queda:
b 2 x 2 - a 2 y 2 = a 2 b 2
..................................................................................................(3)
Que es la ecuación definitiva de la hipérbola, la que también, al dividir entre a2b2, puede expresarse en la siguiente forma:
b 2
x 2
-
a 2
y 2
=
a 2
b 2
a 2
b 2
a 2
b 2
a 2
b 2
Simplificando:
x 2
-
y 2
= 1
..................................................................................................................
(I)
a 2
b 2
Ecuación llamada SIMÉTRICA.
7. LA HIPÉRBOLA
7-3
AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTE MURILLO
EDICIÓN PARA INTERNET: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS
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GEOMETRÍA ANALÍTICA
1.1. Análisis de la ecuación.
Previamente, necesitamos despejar a las dos variables, x y y, de la ecuación (3).
Para x tenemos:
b 2 x 2 = a 2 b 2 + a 2 y 2 = a 2 ( b 2 + y 2 )
x 2 = a 2 ( b 2 + y 2 )
b 2
Extrayendo raíz cuadrada:
x = ± a
b 2 + y 2
......................................................................................................
(α )
b
Para y se tiene:
a 2 y 2 = b 2 x 2 - a 2 b 2 = b 2 ( x 2 - a 2 )
y 2 =
b 2
( x 2 - a 2 )
a 2
Extrayendo raíz cuadrada:
y = ± b
x 2 - a 2
......................................................................................................
(β )
a
[pic 26][pic 27]
Ahora haremos las siguientes consideraciones:
Primera La simple observación de las ecuaciones (α) y (β), nos permite asegurar que la curva es simétrica con relación a los ejes del sistema y al origen.
[pic 28]
Segunda Cuando y=0, en (α) resulta x = ± a . De
[pic 29]
acuerdo con esto vemos que la hipérbola corta al eje de las abscisas en los puntos A1(-a,0) y
A2(a,0).
Cuando x=0, en (β) resulta y = ± bi . Este
[pic 30]
resultado nos permite asegurar que la curva no corta al eje de las ordenadas.
Tercera La misma ecuación (β) nos hace comprender que la curva no existe entre x=-a y x=a, sino que solamente se extiende desde x=-a hacia la izquierda y desde x=a
7. LA HIPÉRBOLA
7-4
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