INTRODUCCIÓN A LOS MO DINÁMICOS

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C(t + ∆t) = C(t) + C(t) *r*

[pic 10][pic 11][pic 12][pic 13][pic 14][pic 15]

C(0) = C0

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- Modelo dinámico continuo

– Supongamos que en el ejemplo anterior d duración del periodo y trabajamos con capita El modelo seguira siendo:

C(t + ∆t) = C(t) + C(t) *r* ∆t

[pic 16]

C(0) = C0

pero ∆t pasa a ser ∆t=1/360 (transformando l anual en diaria). Cuanto menor sea ∆t, menor de capitalización utilizado.

– Si hacemos que ∆t → 0, entonces r* ∆t repre interés instantánea. Para obtener el modelo d “instantánea” o modelo continuo de procedemos como sigue:

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• Operamos en la ecuación de relaciones del modelo reagrupa

C(t + ∆t) - C(t) = C(t)*r* ∆t

[pic 17]

C ( t + ∆ t ) − C (t )

= C ( t ) * r

∆t

• Tomamos límites cuando ∆t → 0 en ambos miembros de la

Es la definición de derivada de C(t): C’(t)

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lim

C (t + ∆t ) − C (t )

=

lim C (t ) * r

∆t

∆t → 0

∆t → 0

[pic 18]

C’(t) = C(t)*r

C(0)=C0

Modelo contin

Obtenemos una ecuación en la que se relaciona una funci derivada. Este tipo de ecuaciones serán estudiadas en el constituyen la esencia de las modelizaciones dinámicas en tie las denominadas ecuaciones diferenciales.

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ECUACIONES DIFERENCIAL SISTEMAS

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Definiciones básicas

- Una ecuación diferencial es una ecuación una función desconocida, tanto en una co variables, con sus derivadas (o derivadas p un cierto orden. Distinguimos dos tipos d diferenciales:

- Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO en las que la función incognita es una func variable y = y(t). Se representan como:

F(t, y, y’, y’’, ... , y(n)) = 0 o bien en su forma normal o explícita como:

y(n) = H(t, y, y’, y’’, ... y(n-1))

Ejemplos: C’(t)=C(t)*r ; y’ = y+1

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- Ecuaciones en derivadas parciales (ED en las que la función incognita es una fu variables y = y(t1, t2, ..., tn), por lo que la intervienen en la ecuación son derivada representan como:

F (t

, ..., t

,

∂ y

, ...,

∂y

, ...,

∂ n

1

m

∂ t 1

∂tm

∂ t 1 r1 ∂t2 r2

Ejemplo: z = z(t,x,y)

∂ z

+ 3

∂2 z

+ 4

∂z

= z + 1

∂ t

∂x 2

∂y

A continuación nos centraremos en el es ecuaciones diferenciales ordinarias EDO. C las siguientes definiciones básicas:

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- Solución de una EDO: es una función y(t) que en la ecuación, la convierte en una identidad.

Ejemplo: La solución de la ecuación y’(t)= -ky( siendo C una constante arbitraria.

- Solución general de una EDO: es el conjun soluciones de la ecuación diferencial. Se exp función que depende de uno o más parámetros. concretos a dichos parámetros se obtienen la soluciones particulares.

Ejemplos: 1. Demostrar que la solución general y’(t) = y(t) + t es y(t)=Cet-t-1

- Demostrar que dos soluciones particulares y’(t) = y(t) + t son y(t)=et-t-1 ; y(t)=-t-1

- Demostrar que y(t)=et-1 no es solución de y’(

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- Orden de una EDO: se llama orden de la ecua al mayor orden de derivación que aparece en la

Ejemplos: y’(t)=t2+y2 es una EDO de orden 1; 3y’’’(t)+2y’(t) = et es una EDO de ord

- Condiciones iniciales de una EDO: se llam iniciales a los valores asignados a la función y hasta orden una unidad menos del orden de la instante dado t0: