Investigación de Matemáticas

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- Defina lo que es una proporción y liste las propiedades fundamentales de estas con su respectivo ejemplo.

La proporción es una relación o razón constante entre magnitudes medibles. Si uno aumenta o disminuye el otro también aumenta o disminuye proporcionalmente.

Propiedades fundamentales

Propiedad 1: en toda proporción , la suma o diferencia entre el antecedente y el consecuente de la primera razón es a su consecuente, como la suma o diferencia entre el antecedente y el consecuente de la segunda razón es a su consecuente.

Ejemplo:a = c → a + b = c + db d b da = c → a - b = c - db d b d

Propiedad 2 : en toda proporción , la suma o diferencia entre el antecedente y el consecuente de la primera razón es a su antecedente , como la suma o diferencia entre el antecedente y el consecuente de la segunda razón es a su antecedente .Ejemplo:a = c → a + b = c + db d a c

a = c → a - b = c - db d a c

Propiedad 3 : en toda proporción, la suma entre el antecedente y el consecuente de la primera razón es a la diferencia entre los mismos , como la suma entre el antecedente y el consecuente de la segunda razón es a la diferencia de los mismos .

Ejemplo:a = c → a + b = c + db d a - b c - d

Propiedad 4: en toda serie de razones iguales la suma de los antecedentes es a la suma de los consecuentes, como uno de los antecedentes es a su consecuente.

Ejemplo:a = c = e = m = a + c + e+ mb d f n b+ d + f+ n

- Investigar sobre el teorema de Thales y presentar cinco ejemplos resueltos sobre su aplicación en la resolución de triángulos.

Teorema de Thales

Como definición previa al enunciado del teorema, es necesario establecer que dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales o si sus lados son proporcionales entre sí. El primer teorema de Tales recoge uno de los resultados más básicos de la geometría, a saber, que:

Teorema primero

Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtiene un triángulo que es semejante al triángulo dado.

Según parece, Tales descubrió el teorema mientras investigaba la condición de paralelismo entre dos rectas. De hecho, el primer teorema de Tales puede enunciarse como que la igualdad de los cocientes de los lados de dos triángulos no es condición suficiente de paralelismo. Sin embargo, la principal aplicación del teorema, y la razón de su fama, se deriva del establecimiento de la condición de semejanza de triángulos, a raíz de la cual se obtiene el siguiente corolario.

Ejemplos:[pic 35]

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- Investigar sobre los criterios de Semejanza de los triángulos y presentar un ejemplo de cada uno.

Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.

[pic 45]

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180º − 100º − 60º = 20º

Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales.

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Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos igual.

[pic 52][pic 53]

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- Presentar dos ejemplos resueltos sobre la aplicación de la semejanza de triángulos en problemas de la vida real.

- La sombra de un árbol mide 10 m y en el mismo instante, la sombra de un joven mide 1,5 m. Si el joven tiene una altura de 1,8 m, ¿cuál es la altura del arbol?

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Solución: Los triángulos formados por el árbol y su sombra y por el joven y su sombra son semejantes, pues los rayos de sol son paralelos.

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- Dos caminos paralelos se unen entre sí por dos puentes, que a su vez se cortan en el punto O. Teniendo en cuenta las medidas de la figura, calcula la longitud de los dos puentes.[pic 57]

Solución La longitud de un puente será x + 10,2; la del otro, y + 6,5; por tanto, el objetivo está en calcular el valor de x e y. Los triángulos que se forman son semejantes (sus tres ángulos son iguales) y son:

[pic 58]