La música y las matemáticas.

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Centrándose en la parte matemática y teniendo en cuenta el principal objetivo del proyecto, las sucesiones matemáticas pueden ser definidas como un conjunto ordenado de objetos matemáticos, generalmente números. Cada uno de ellos es denominado término (también elemento o miembro) de la sucesión y al número de elementos ordenados (posiblemente infinitos) se le denomina la longitud de la sucesión. No debe confundirse con una serie matemática, que es la suma de los términos de una sucesión. Las aplicaciones de las sucesiones son incontables. Se utilizan abundantemente para demostrar los teoremas y las propiedades de la topología matemática, y en la muy conocida demostración del número pi, pero dado que esta parte del cálculo es la más inocua, son mucho más destacadas sus aplicaciones en materia de cálculo numérico. Existen bastantes por no decir infinitas sucesiones matemáticas un ejemplo de esta es la “Sucesión de Fibonacci” entra el en campo de la aritmética y está íntimamente relacionada con el número de oro. Se trata de una serie infinita de números naturales que empieza con un 0 y un 1 y continúa añadiendo números que son la suma de los dos anteriores, quedando con la forma siguiente:0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1.597, 2.584, 4.181, 6.765, 10.946, 17.711, 28.657... Uniendo el concepto aritmético con su representación geométrica se obtiene una de las imágenes más comúnmente asociadas al número y la razón áurea: la espiral de Fibonacci.

Figura 1. Sucesión de Fibonacci[pic 1]

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Figura 1. Sucesión de Fibonacci. Fibonacci (1202).

La relación de esta sucesión con el número de oro se da que al dividir cada número por el anterior de la serie, se obtiene una cifra cada vez más cercana a 1,61803, quedando el resultado alternativamente por debajo y por encima del número preciso, sin llegar nunca a alcanzarlo absolutamente, el número áureo es la relación o proporción que guardan entre sí dos segmentos de rectas. Fue descubierto en la antigüedad, y puede encontrarse no solo en figuras geométricas, sino también en la naturaleza. A menudo se le atribuye un carácter estético especial a los objetos que contienen este número, y es posible encontrar esta relación en diversas obras de la arquitectura, el arte e incluso la música.

La música no tiene un origen establecido, y ha variado a través del tiempo histórico en que se desarrolle, es indudable que ha tenido y tendrá gran influencia cultural y social, lo que ha dado pie para su estudio y para que se le relacione directa o indirectamente con diferentes ciencias como las matemáticas, por otro lado, la música tiene cuatro elementos esenciales: el ritmo, la melodía, la armonía y el timbre. Esos cuatro elementos constituyen los materiales del compositor. El ritmo es determinado por la duración de los sonidos y la combinación de estas duraciones, dando la nota característica a las piezas musicales. La melodía es una sucesión de sonidos que expresa musicalmente una idea completa. La armonía o acorde es la combinación de dos o más sonidos que se escuchan al mismo tiempo. El timbre por su parte es el color del sonido, pues es el que ayuda a que se distingan los diferentes sonidos y tonalidades en una melodía.

En cuanto a lo que ha sido creación de melodías a partir de las matemáticas se puede decir que uno de los primeros intentos (aunque no son con razones matemáticas como tal) data de alrededor del año 1026, cuando Guido de Arezzo desarrolló una técnica para componer una melodía asociando sonidos a las vocales de un texto de tal forma que la melodía variaba de acuerdo al contenido de vocales del texto. Abundan también los procedimientos composicionales basados en proporciones. Un exponente de este método fue Guillaume Dufay (1400-1474), quien derivó el tempo de sus motetes de una catedral florentina utilizando la sección áurea. Dufay fue de los primeros en utilizar las transformaciones geométricas en forma deliberada en su música. El uso de secuencias rítmicas como una técnica formal se utilizó entre los años 1300 - 1450 y el gran músico G. Machault lo utilizó en algunos motetes. A partir del siglo XIX numerosos intentos de crear música a partir de modelos matemáticos, pero es sobre todo en el siglo XX con la aparición de la computadora, la introducción del pensamiento matemático y los métodos que de él derivan en la composición musical ha permitido la prospección de nuevas formas musicales basadas en leyes matemáticas.

Continuando con el enfoque, en la composición de una melodía existe una estructura que está influida por las matemáticas. Un procedimiento básico para obtener cohesión en una pieza de música es el reafirmar una secuencia de sonidos una y otra vez, en forma variada para evitar la monotonía y dar carácter a la composición. Se debe hacer de tal manera que resulte placentera al oído y de interés a la mente. Si estas variaciones están bien hechas ayudarán a que esta pieza musical se recuerde más fácilmente. Estas la harán más atractiva, ya que el reconocer frases repetitivas es importante para el placer musical. Otro aspecto interesante de la relación entre música y matemáticas es la composición de obras musicales a partir de reglas y conceptos como probabilidad aplicada a juegos de azar, modelos estadísticos, también se puede generar música por medio de computadoras programadas con ciertas reglas.

Otro factor de unión entre estas dos áreas es el concepto pitagórico de "armonía", que significa proporción de las partes de un todo. Los pitagóricos se guiaron siempre en sus investigaciones por el principio de que la música debía ser reconducida hasta las proporciones más simples, ya que debía reflejar en todo la armonía universal. Pitágoras descubrió la resonancia de una cuerda tensa, y también que los sonidos obtenidos corresponden a las diferentes fracciones de la cuerda; en consecuencia, estos hechos se pueden reducir a relaciones de números enteros y la armonía tiene un aspecto matemático.

Pitágoras descubrió la armonía al escuchar el sonido de martillos provenientes de diferentes yunques en el taller de un herrero. El peso de estos martillos se correspondía con los números 12, 9, 8, 6; el peso del cuarto martillo daría el tono, y el del primer martillo, que era el doble del menor, daba la octava. El peso de los otros dos, que son las medias aritméticas y armónicas de los dos anteriores darían la quinta y la cuarta. Llevadas estas proporciones a un monocordio vemos que el tono o nota base lo da el sonido de la cuerda entera, es lo que se llamaba unísono,