Otras formas de representar los números complejos

...

[pic 41]

[pic 42]

Del mismo modo se puede calcular el cociente de un complejo por otro no nulo sin más que dividir los módulos y restar los argumentos:

[pic 43],

siempre que [pic 44].

Las fórmulas anteriores pueden generalizarse para el producto de varios complejos, así, si [pic 45], para [pic 46], entonces

[pic 47]

Finalmente, en el caso en que todos los factores sean iguales se obtiene la fórmula de Moivre:

[pic 48]

Esta fórmula es también válida para exponentes enteros negativos, siempre que [pic 49].

En particular tenemos otra expresión para el inverso de un número no nulo, [pic 50].

(Aquí puedes ver una aplicación de la fórmula de Moivre)

Cambio de forma binómica a polar y viceversa:

Cambio de binómica a polar

Cambio de polar a binómica

[pic 51]

[pic 52]

[pic 53]

[pic 54]

3. Forma exponencial

Una variante de la forma polar se obtiene al tener en cuenta la conocida como fórmula de Euler:

[pic 55]

para [pic 56].

Esto nos permite escribir un número complejo en la forma siguiente, denominada forma exponencial:

[pic 57]

Esta nueva forma es especialmente cómoda para expresar productos y cocientes ya que sólo hay que tener en cuenta las propiedades de la función exponencial (para multiplicar se suman exponentes y para dividir se restan). En particular, para potencias con exponentes enteros se tiene [pic 58].

Esto nos permite dar una nueva expresión para el inverso de un complejo no nulo en la forma [pic 59].

Raíces n-ésimas de un número complejo

Estudiemos ahora las potencias con exponente racional de un número complejo. Dado [pic 60], sea [pic 61], para un número natural p.

Si [pic 62], puesto que [pic 63], es decir, [pic 64]. Por tanto, [pic 65], y además, [pic 66], o sea, [pic 67], para [pic 68].

De todos estos valores sólo p consecutivos son distintos, el resto resulta ser repetición sucesiva de valores ya obtenidos. Por tanto, un número complejo tiene siempre p raíces p-ésimas distintas

[pic 69], para [pic 70].

Se puede observar que las p raíces pésimas tienen todas el mismo módulo, y sus argumentos se diferencian en [pic 71] cada uno del siguiente, esto es, las raíces p-ésimas se encuentran en los vértices de un polígono regular de p lados incrito en la circunferencia de centro 0 y radio [pic 72].

Como ejemplo, en la siguiente gráfica podemos ver las raíces quintas de [pic 73]

[pic