SOLUCIONES EJERCICIOS DERIVADAS

...

∙ Signo de f ''(x):

[pic 21]

f (x) es convexa en (-∞, 1); es cócava en (1, +∞). Tiene un punto de inflexión en

(1, 2).

Ejercicio nº 7.-

Un heladero ha comprobado que, a un precio de 50 céntimos de euro la unidad, vende una media de 200 helados diarios. Por cada céntimo que aumenta el precio, vende dos helados menos al día. Si el coste por unidad es de 40 céntimos, ¿a qué precio de venta es máximo el beneficio diario que obtiene el heladero? ¿Cual será ese beneficio?

Solución:

Llamamos x al número de céntimos en los que aumenta el precio. Así, cada helado costará 50 + x céntimos; y venderá 200 - 2x helados diarios.

Por tanto, por la venta de los helados obtendrá unos ingresos:

I (x) = (50 + x) (200 - 2x)

Pero tiene unos gastos de: G (x) = (200 - 2x) · 40

Luego, el beneficio será de:

B (x) = I (x) - G (x) = (50 + x) (200 - 2x) - (200 - 2x) · 40 = (200 - 2x) (50 + x - 40) =

= (200 - 2x) (x + 10) = -2x2 + 180x + 2 000

Hallamos x para que el beneficio sea máximo:

B '(x) = -4x + 180

B '(x) = 0 → -4x + 180 = 0 → x = 45

B ''(x) = -4; B ''(45) → en x = 45 hay un máximo

Por tanto, obtendrá el máximo beneficio vendiendo cada helado a 50 + 45 céntimos de euro. En este caso, el beneficio sería de B (45) = 6 050 céntimos, es decir, de 60,50 euros.

Ejercicio nº 8.-

[pic 22]

b) Con el resultado obtenido, calcula f '(1).

Solución:

[pic 23]

[pic 24]

[pic 25]

Ejercicio nº 9.-

[pic 26]

Solución:

∙ Ordenada en el punto:

[pic 27]

∙ Pendiente de la recta:

[pic 28]

[pic 29]

∙ Ecuación de la recta:

[pic 30]

Ejercicio nº 10.-

Halla los intervalos de crecimiento y los máximos y mínimos de la función:

[pic 31]

Solución:

∙ Dominio = R − {1}

∙ Derivada:

[pic 32]

[pic 33]

∙ Signo de f' (x).

[pic 34]

f (x) es creciente en (−∞, 0) ∪ (2, +∞); es decreciente en (0, 1) ∪ (1, 2). Tiene un máximo en (0, −2) y un mínimo en (2, 2).

Ejercicio nº 11.-

La producción de cierta hortaliza en un invernadero (Q(x) en kg) depende de la temperatura (x en °C) según la expresión: Q(x) = (x + 1)2 (32 - x)

a) Calcula razonadamente cuál es la temperatura óptima a mantener en el invernadero.

b) ¿Qué producción de hortaliza se obtendría?

Solución:

a) Buscamos el máximo de la función Q(x):

Q '(x) = 2 (x + 1) (32 - x) + (x + 1)2 · (-1) = (x + 1) [2 (32 - x) - (x + 1)] =

= (x + 1) [64 - 2x - x - 1] = (x + 1) (63 - 3x)

[pic 35]

Q ''(x) = (63 - 3x) + (x + 1) · (-3) = 63 - 3x - 3x - 3 = -6x + 60

Q ''(-1) = 66 > 0 → en x = -1 hay un mínimo.

Q ''(21) = -66 → en x = 21 hay un mínimo.

Por tanto, la temperatura ha de ser de 21 °C.

b) La producción en este caso sería de:

Q(21) = 5 324 kg

Ejercicio nº 12.-

Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente función. Halla sus máximos, mínimos y puntos de inflexión:

[pic 36]

Solución:

∙ Derivada:

[pic 37]

[pic 38]

[pic 39]

∙ Signo de f' (x):

[pic 40]

f (x) es decreciente en (−∞, −2) ∪ (0, 3); es creciente en (−2, 0) ∪ (3, +∞). Tiene

[pic 41]

∙ Segunda derivada:

[pic 42]

[pic 43]

∙ Signo de f '' (x):

[pic 44]

f (x) es decreciente en (−∞; −1,12) ∪ (1,79; +∞); es convexa en (−1,12; 1,79). Tiene dos puntos de inflexión:

(−1,12; 0,03) y (1,79, −1,99)

Ejercicio nº 13.-

Una huerta tiene actualmente 24 árboles, que producen