TENCIAS Y RAIZ CUADRADA

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El concepto de raíz cuadrada puede extenderse a cualquier anillo algebraico, así es posible definir la raíz cuadrada de un número real negativo o la raíz cuadrada de algunas matrices. En los números cuaterniónicos los reales negativos admiten un número infinito de raíces cuadradas, sin embargo, el resto de cuaterniones diferentes de cero admiten solo dos raíces cuadradas. En el anillo no conmutativo de las funciones reales de variable real con la adición y la composición de funciones si fºf = g, se puede plantear que f es la "raíz cuadrada" de g.

Radicación

La radicación de orden n de un número a es cualquier número x tal que

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donde n se llama índice u orden, a se denomina radicando, y x es una raíz enésima, por lo que se suele conocer también con ese nombre.

La raíz de orden dos se llama raíz cuadrada y la raíz de orden tres se llama raíz cúbica. Las raíces de órdenes superiores se nombran usando números ordinales, por ejemplo, raíz cuarta o raíz séptima.

La radicación es la operación inversa a la potenciación.

Propiedades De Los Radicales

Para el buen uso de los radicales es necesario tener en cuenta una serie de propiedades que se indican a continuación.

Raíz de una raíz:

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Para calcular la raíz de una raíz multiplicamos los índices y conservamos la cantidad subradical.

Por ejemplo:

[pic 40][pic 41][pic 42]

Potencia de una raíz

Para calcular la potencia de una raíz se eleva el radicando a esa potencia.

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Utilizando las propiedades fundamentales, se pueden obtener otras propiedades, como, por ejemplo, el cálculo de la raíz de un producto con el mismo radicando y distintos índices, que se obtiene multiplicando los índices de las raíces y conservando el radicando elevado a la suma de los índices.

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Formas simplificadas

Una expresión radical no anidada se dice que está en forma simplificada si:

- No tiene factores en el radicando que puedan escribirse como potencias mayores o iguales que el índice.

- No hay fracciones bajo el signo radical

- No hay radicales en el denominador.

Por ejemplo, para escribir la expresión radical en forma simplificada, se procede como sigue. Primero, se buscan cuadrados perfectos bajo el signo de la raíz cuadrada y se eliminan:[pic 46]

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Después, hay una fracción bajo el signo radical, la cual se cambiará como:

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Finalmente, se elimina el radical del denominador como sigue:

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Suma y resta de radicales

Radicales semejantes son aquellos radicales que después de simplificados tienen el mismo índice y el mismo radicando. Para sumar y restar radicales semejantes se saca factor común el radical semejante de todos los términos. En el caso en que no sean semejantes, no se pueden sumar ni restar, por ejemplo:

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Racionalización

Racionalizar una expresión consiste en eliminar los radicales del denominador, transformando la expresión en otra equivalente. El caso más sencillo es cuando se tiene solo una raíz enésima en el denominador, de forma que se simplifica el denominador multiplicando el numerador y el denominador por .[pic 51][pic 52]

Cuando hay un denominador que contiene radicales, siempre es posible encontrar un factor para multiplicar el numerador y el denominador y así simplificar la expresión. Por ejemplo, usando la factorización de la suma de dos cubos:

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CONCLUSIÓN

En el álgebra (la potenciación y radicación), La potenciación es el producto de varios factores iguales. Para abreviar la escritura, se escribe el factor que se repite y en la parte superior derecha del mismo se coloca el número de veces que se multiplica. La operación inversa de la potenciación se denomina radicación.

La mejor forma de resolver los ejercicios de operaciones con raíces es convertir las raíces a potencias y operar teniendo en cuenta las propiedades dadas para la operación de potenciación