TRABAJO MATEMÁTICAS Y CIENCIAS

...

Variables a considerar

D: densidad del fluido C: cantidad de fluido T: cantidad de poros F: tamaño de los poros

- Formular un modelo matemático

Se define la densidad D como una medida utilizada por la física y la química para determinar la cantidad de masa contenida en un determinado volumen es decir gr/ referente a la densidad del fluido que atraviesa un medio poroso Pues es la tendencia a lo solido (más denso) o a mas liquido (más fluido) por lo tanto si la densidad es menor el líquido penetra en el medio con mayor facilidad por otro lado si la densidad es mayor es decir se hace más denso disminuye la penetración en el medio en ese instante de acuerdo a la trayectoria del líquido por el medio se presenta un parámetro que va a depender de la magnitud D que es el tiempo t que me va a indicar el tiempo que tarda el líquido en pasar en otras palabras D es directamente proporcional a t.[pic 2]

Ahora podemos mencionar la cantidad de poros es otra variable a considerar que se trata de una medida de espacios vacíos en un material, y es una fracción del volumen de huecos sobre el volumen total. La variable cantidad de poros es inversamente proporcional al tiempo es decir no depende una de la otra ya que si T aumenta el fluido tarda menos tiempo en recorrer el medio esto se cumple de manera recíproca, ahora se tiene que la cantidad de fluido que pasa por cada poro se establece la siguiente relación vol/t es decir volumen por cada unidad de tiempo seg, luego el parámetro vol/t va a depender de la densidad D. Si D aumenta entonces el fluido vol/t disminuye y viceversa.[pic 3]

La unidad de medida del tamaño de los poros es en por ende la ecuación para calcular el fluido que pasa por cada poro es:[pic 4]

W =[pic 5]

La letra K es una constante de proporcionalidad y homogeneidad en el medio poroso, es decir por cada de are de superficie por donde penetra el líquido pasa la cantidad vol/D por cada segundo. Luego si el medio poroso es homogéneo, es decir todos los poros tienen las mismas características, se multiplica T por F y se obtiene el área total por donde puede pasar el fluido; finalmente se obtiene que la cantidad total de fluido que circula por el medio poroso en función del tiempo sea:[pic 6]

U= w.T.F

Donde T= cantidad de poros F= tamaño de los poros

Multiplicando U por el tiempo que tarda el fluido en pasar por el medio obtendríamos:

C= U.t despejamos t t= [pic 7]

(1)[pic 8]

Ahora el tiempo que tarda la cantidad de fluido C en pasar por un medio poroso en T cantidad de poros en F tamaño, ahora pasamos a calcular el valor de T y F En función del tamaño del medio poroso que se desenvuelve el líquido.

- Obtener una solución matemática

Vamos a proceder como referencia a la alfombra de sierpinski en su construcción se parte de un cuadrado negro que a su vez se subdivide en 9 cuadrados iguales por lo cual el del medio tiene color blanco y el resto se deja de color negro siguiendo un patrón de orden en cada sucesión o paso después se va repitiendo este procedimiento alrededor de cada cuadrado blanco hasta obtener variadas iteraciones.

n= 0 n=1 n=2 n=3

[pic 9][pic 10][pic 11][pic 12]

n=4[pic 13]

Para calcular su dimensión fractal se usa el mismo procedimiento para el triángulo de serpisnki las variaciones o iteraciones están en los parámetros.

- Numero de cuadrados negros = [pic 14]

- Tamaño de lados de los cuadrados blancos = [pic 15]

- Dimensión fractal = = 1,8927………..[pic 16]

En la medida que relacionamos T y F es decir la cantidad de poros presente en el medio con el respectivo tamaño del mismo con la alfombra de sierpisnki, se puede apreciar que se relacionan con n es decir el número de iteraciones es decir que a medida que n aumenta el área por donde pasa el fluido también aumenta lo que sucede después un aumento en la rapidez de la penetración del fluido y por ende una disminución del parámetro tiempo en atravesar por el medio. El área por donde pasara el fluido según la figura son los cuadrados blancos se puede notar la parte sólida y la parte vacía por lo tanto se relaciona F con el tamaño de los cuadrados blancos . Siendo L la longitud de los lados de la alfombra y T el números de cuadrados blancos.[pic 17][pic 18]

Como los cuadrados blancos varían su tamaño en cada interacción y la cantidad de ellos no está determinada de manera objetiva y el objetivo es determinar el área total donde pasa todo el fluido se procede de la siguiente manera calculando el área de los cuadrados negros menos el área total de la alfombra. El tamaño de los cuadrados blancos es equivalente al tamaño de los cuadrados negros, entonces el área total de todos los cuadrados es:

[pic 19]

Si la longitud de la alfombra se representa por la letra L esto implica que el área seria de esta manera el área total que cubre los cuadrados blancos es:[pic 20]

[pic 21]

[pic 22]

Por lo tanto T.F= B y sustituyendo en la ecuación 1 se tiene que:

[pic 23]

- Interpretar la solución matemática

Ahora pasamos a examinar las ecuaciones obtenidas primero notemos que si W tiende a 0 entonces t tiende al infinito lo que implica que si no pasa el líquido por los poros entonces C no disminuye por lo que el tiempo se hace infinito. Ahora si el área aumenta t disminuye porque ya que al aumentar el área por donde pasa el fluido este pasara más rápido en menos tiempo, por tanto si n es igual a 0 el denominador se hace 0 por lo que t tiende al infinito de esta manera no existirían cuadrados blancos por donde pasa el fluido si n tiende a infinito entonces como 8/9 es menor que 1 por lo tanto la ecuación se transforma de esta manera.[pic 24]

[pic 25]

Esta ecuación indicia que toda el área total de la alfombra es decir permite el