Usos y aplicaciones de Teorema de Barrow en las ciencias económicas

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Por Luca Pacioli (1942). Define que la contabilidad consiste en registrar, por medio de cargos y abonos, los efectos que producen las distintas operaciones entre los diferentes elementos del balance, de tal forma que siempre subsista la igualdad entre el Activo y la suma del Pasivo con el Capital.

Según Adam Smith (1723). Definió la economía como “Una investigación sobre la naturaleza y causas de la riqueza de las naciones". El estudio de la riqueza de una nación, con referencia a las cuatro categorías: la producción de la riqueza, el intercambio de la riqueza, la distribución de la riqueza y el consumo de la riqueza.

Por Henry Fayol (1916). Administrar es Planear, visualizar el futuro y trazar el programa de acción. Organizar, construir las estructuras material y social de la empresa. Dirigir, guiar y orientar al personal. Coordinar, enlazar, unir y armonizar todos los actos colectivos. Controlar, verificar que todo suceda de acuerdo con las reglas establecidas y las órdenes dadas.

2.2 Análisis Matemático

2.2.1 Definición de Análisis Matemático

El análisis es una rama de las matemáticas que estudia los números reales, los complejos y sus funciones. Se empieza a desarrollar a partir del inicio de la formulación rigurosa del Cálculo y estudia conceptos como la continuidad, la integración y la diferenciabilidad de diversas formas.

Por James Stewar. (2001). http://www.culturageneral.net/matematicas/analisis.htm

2.2.3Interpretación del Análisis Matemático

Encontrar valores extremos de una función.

Conocer el álgebra de integrales.

Encontrar el área bajo la curva de una función.

Comprender y aplicar los conceptos de límites y continuidad de funciones reales.

Interpretar el concepto de pendiente de una curva en un punto.

2.3Teorema fundamental del Cálculo

2.3.1 Definición del Teorema del Cálculo

El teorema fundamental del cálculo consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que toda función acotada e integrable (siendo continua o discontinua en un número finito de puntos) verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominada análisis matemático o cálculo.

El teorema fue fundamental porque hasta entonces el cálculo aproximado de áreas –integrales en el que se venía trabajando desde Arquímedes, era una rama de las matemáticas que se seguía por separado del cálculo diferencial que se venía desarrollando por Isaac Newton, Isaac Barrow y Gottfried Leibniz en el siglo XVIII, y dio lugar a conceptos como el de las derivadas. Las integrales eran investigadas como formas de estudiar áreas y volúmenes, hasta que en ese punto de la historia ambas ramas convergieron, al demostrarse que el estudio del “área bajo una función” estaba íntimamente vinculado al cálculo diferencial, resultando la integración, la operación inversa a la derivación.

Una consecuencia directa de este teorema es la regla de Barrow, denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del cálculo, y que permite calcular la integral de una función utilizando la integral indefinida de la función al ser integrada.

2.3.2Historia del fundamental Teorema de Cálculo

El teorema fundamental del cálculo se refiere a la diferenciación e integración, demostrando que estas dos operaciones son esencialmente inversas la una de la otra. Antes del descubrimiento de este teorema, no se reconoció que estas dos operaciones estaban relacionadas. Los antiguos matemáticos griegos sabían cómo calcular el área a través de los infinitesimales, una operación que ahora llamaríamos integración. Los orígenes de la diferenciación son también anteriores al teorema fundamental del cálculo en cientos de años; por ejemplo, en el siglo XIV las nociones de continuidad de funciones y de movimiento eran estudiadas por los calculadores de Oxford y otros estudiosos. La relevancia histórica del teorema fundamental del cálculo no es la capacidad de calcular estas operaciones, sino la constatación de que estas dos operaciones distintas en apariencia (cálculo de áreas geométricas y cálculo de velocidades) estaban finalmente en estrecha relación.

La primera declaración publicada y prueba de una versión restringida del teorema fundamental fue hecha por James Gregory (1638–1675). Isaac Barrow (1630–1677) demostró una versión más generalizada del teorema, mientras que el estudiante de Barrow, Isaac Newton (1642–1727), completó el desarrollo de la teoría matemática concernida. Gottfried Leibniz (1646–1716) sistematizó el conocimiento en un cálculo de las cantidades infinitesimales e introdujo la notación utilizada en la actualidad.

Por Jimmy W. (1996). “Matemáticas Visuales”, de: http://mitecnologico.com/igestion/Main/TeoremaFundamentalDelCalculo

2.3.3Principios del Teorema Fundamental del Cálculo

Tom M. Apostol. (1998).Calculo. pp. 202.

Llegamos ahora a la conexión que haya entre integración y derivación. La relación entre estos dos procesos es, de algún modo, análoga a la que hay entre ‘elevar al cuadrado’ y la ‘raíz cuadrada’. Si elevamos al cuadrado un número positivo y después tomamos la raíz cuadrada del resultado, obtenemos el número original.

De igual modo, si integramos una función continua obtenemos una nueva función (una integral indefinida de f) y si diferenciamos esta función obtenemos la función original.

Esta conexión entre diferenciación e integración es muy sorprendente. La integración está relacionada con la suma de muchos números pequeños (por ejemplo, cuando calculamos un área, la longitud de una curva, etc.) y la diferenciación es la tasa de variación instantánea (una interpretación gráfica de la derivada es la pendiente de la tangente a la curva).

El Teorema Fundamental del Cálculo nos dice que estos dos conceptos están íntimamente relacionados.

2.4 Teorema de Barrow

2.4.1