VARIABLE COMPLEJA. 5TO SEMESTRE

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TEOREMA DE CONVERGENCIA DE SERIES DE POTENCIAS: Sea una serie de potencias. Existe un numero R≥0, posiblemente +∞; llamado el radio de convergencia, tal que si |z-z0|0|>R, la serie diverge. Más aun la convergencia es uniforme y absoluta en cualquier disco cerrado en . No se puede hacer un enunciado general si |z-z0|=R.[pic 33][pic 34]

Así, en la región la serie converge y tenemos divergencia en z, si |z-z0|>R. el circulo |z-z0|=R es llamado el circulo de convergencia de la serie de potencias dada.[pic 35]

[pic 36]

LEMA DE ABEL-WEIERSTRASS: Suponga que r0>0 y que para toda n, donde M es alguna constante. Entonces, para r0, converge uniformemente y absolutamente en el disco cerrado [pic 37][pic 38][pic 39]

ANALITICIDAD DE LAS SERIES DE POTENCIAS: Una serie de potencias es una función analítica en el interior de su círculo de convergencia.[pic 40]

DIFERENCIACION DE SERIES DE POTENCIA: Sea f (z)= la función analítica definida en el interior del circulo de convergencia de las series de potencias dada. Entonces f’ (z)=, y esta serie tiene el mismo circulo de convergencia que . Más aun, los coeficientes están dados por .[pic 41][pic 42][pic 43][pic 44][pic 45]

UNICIDAD SE LA SERIE DE POTENCIAS: Las expansiones de las series de potencias alrededor de un mismo centro, son únicas. Si =f (z)= para toda z en algún disco no trivial D (z0: r) con r>0, entonces an=bn para n=1, 2, 3,….[pic 46][pic 47]

PROPOSICION 4: Considere una serie de potencias

- Criterio de la razón: Si

[pic 48]

Existe, entonces es igual a R, el radio de convergencia de la serie.

- Criterio de la raíz: Si existe, entonces R=1/ρ es el radio de convergencia. (Hágase R=∞ si ρ=0; hágase R=0 si ρ=∞.)[pic 49]

TEOREMA DE TAYLOR

A partir de los cálculos precedentes, que si f: A→ es igual, en un disco pequeño alrededor de cada z0 ϵ A, a una serie de potencias convergente, entonces f es analítica. El inverso es también cierto: si f es también analítica, es igual, en cualquier disco de su dominio, a una serie de potencias convergente. Esto se hace explícito en el siguiente teorema.[pic 50]

TEOREMA DE TAYLOR: Sea f analítica en una región A. sea z0 ϵ A y sea Ar, la serie

[pic 51]

Converge en Ar (esto es un radio de convergencia ≥r), y tenemos:

[pic 52]

(Se usa la convención de que 0!=1.) La serie de la ecuación es llamada serie de Taylor de f alrededor del punto z0.

[pic 53]

COROLARIO: Sea A una región en y sea f una función con valores complejos, definida en A. entonces, f es analítica en A si y solo si, para cada z0 en A, existe un numero r>0 tal que el disco D (z0: r)A y f es igual a una serie de potencias convergente en D (z0: r).[pic 54][pic 55]

La condición de este corolario, debe entonces ser tomada como una condición alternativa de “analítica”.

Ejemplos:

[pic 56]

[pic 57]

SERIES DE LAURENT Y CLASIFICACION DE SINGULARIDADES

TEOREMA DE LAURENT: Sea r1≥0, r2> r1 y z0 ϵ y considere la región . Se admite que r1=0 0 r2=∞ (o ambos). Sea f analítica en la región A. entonces, podemos escribir:[pic 58][pic 59]

[pic 60]

Donde ambas series en el lado derecho de la ecuación, convergen absolutamente en A y uniformemente en cualquier conjunto de la forma donde , si ϒ es un círculo alrededor de con radio r, con , entonces los coeficientes están dados por:[pic 61][pic 62][pic 63][pic 64]

[pic 65]

Y

[pic 66]

La serie para f en la ecuación , es llamada la serie de Laurent o expansión de Laurent alrededor de en el anillo A. Cualquier expansión converge puntualmente de f de esta forma, es igual a la expansión de Laurent; en otras palabras, la expansión de Laurent es única.[pic 67][pic 68]

[pic 69]

NOTA: no podemos hacer an = f n (z0)/n! , como lo hicimos con la expansión de Taylor. En efecto, f(n) (z0) no está siquiera definida, ya que z0 A.[pic 70]

SINGULARIDADES AISLADAS: CLASIFICACION DE PUNTOS SINGULARES

DEFINICION 3: Si f es analítica en una región A que contiene alguna ε-vecindad agujerada de z0, entonces z0 es llamada singularidad aislada. (Así, la expansión de Laurent precedente es válida en tal ε -vecindad agujerada). Si z0 es una singularidad aislada de f y si todos los bn, excepto un número finito, en la ecuación son cero, entonces z0 es llamado un polo de f. Si k es el mayor entero tal que bk ≠ 0, z0 es llamado polo de orden k. (Para enfatizar que k ≠ ∞, algunas veces decimos "un polo de orden finito k"). Si z0 es un polo de primer orden también decimos que es un polo simple. Si un número infinito de bk es distinto de cero, z0 es llamada una singularidad esencial. (Algunas veces esta z0 un polo de orden infinito) "Polo", significara siempre un polo de orden finito. Llamaremos a b1, el residuo de f en z0. Si todos los bk son cero, decimos que z0 es una singularidad removible. Una función que es analítica en una región A, excepto para los Polos en A, es llamada meromorfa en A. La frase " f es una función meromorfa" significa que f es meromorfa en C. Por lo tanto, f tiene un polo de orden k si su expansión de Laurent tiene la siguiente forma:

[pic 71]

En la parte

[pic 72]

Que es llamada a menudo la parte principal de f en z0 nos dice "que tan singular" es f en z0.

Si f tiene una singularidad removible, entonces:

[pic 73]

Es una serie de potencias convergente.

PROPOSICION