Young´s Experiment

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[pic 19] [pic 20]

Para cuantificar más la configuración geométrica de las dos ranuras, ampliamos y simplificamos la figura anterior. Suponga que en esta figura la pantalla ha sido colocada a una gran distancia L lejos de las ranuras, de tal manera que las líneas S1P y S2P son esencialmente paralelas entre sí y a la línea dibujada desde el centro de las dos rendijas al punto P. Se dibuja una línea desde S1 perpendicular a S1P y S2P, que forma un triángulo con lados d, b y ∆x. La cantidad ∆x es la diferencia de longitud de trayectoria r2 – r1.

Esta diferencia de longitud de trayectoria ∆x = r2 – r1 produce una diferencia de fase para la luz que se origina desde las dos rendijas e ilumina la pantalla en el punto P. La diferencia de longitud de trayectoria se puede expresar en términos de la distancia entre las rendijas d y el ángulo θ al cual se observa la luz,

[pic 21]

o bien, [pic 22]

Para interferencia constructiva, esta diferencia de longitud de trayectoria debe ser un múltiplo entero de la longitud de onda de la luz incidente,

(1)[pic 23]

Un borde brillante en la pantalla señala interferencia constructiva.

Para interferencia destructiva, la diferencia de longitud de trayectoria debe ser un entero más un medio por la longitud de onda,

(2)[pic 24]

Una franja oscura en la pantalla señala interferencia destructiva.

Note que para interferencia constructiva y m = 0, se obtiene θ = 0, lo que significa que ∆x = 0 y hay una franja brillante en cero grados. La franja brillante se llama el máximo central. El entero m se denomina el orden de la franja. El orden tiene un significado diferente para franjas brillantes y para franjas oscuras. Por ejemplo, usar la ecuación 1 con m = 1 daría el ángulo de la franja brillante de primer orden, m = 2 daría la franja de segundo orden, etc. Usar la ecuación 2 con m = 0 daría el ángulo de la franja oscura de primer orden, m = 1 daría la franja de segundo orden, etc. Para las franjas brillante y oscura, la franja de primer orden es la más cercana al máximo central.

Si la pantalla se coloca a una distancia suficientemente grande de las rendijas, el ángulo θ es pequeño y se puede aproximar como sin θ ≈ tan θ = y/L Así, es posible expresar la ecuación 1 como:

[pic 25]

o bien, (3)[pic 26]

que da las distancias a lo largo de la pantalla de las franjas brillantes desde el máximo central.

De modo similar, las distancias a lo largo de la pantalla de las franjas oscuras desde el máximo central se pueden expresar como:

(4)[pic 27]

Las posiciones de los centros de las franjas brillante y oscura se describen mediante las ecuaciones 3 y 4. Pero la intensidad de la luz en cualquier punto en la pantalla también se puede calcular. Comience suponiendo que la luz emitida en cada ranura está en fase. El campo eléctrico de las ondas de luz se puede describir mediante donde es la amplitud de la onda y ω es la frecuencia angular.[pic 28][pic 29]

Cuando las ondas de luz llegan a la pantalla desde las dos rendijas, han viajado distancias diferentes, así que pueden tener fases distintas. El campo eléctrico de la luz que llega a un punto dado en la pantalla desde S1 puede expresarse como:

[pic 30]

y el campo eléctrico de la luz que llega al mismo punto desde S2 puede expresarse como:[pic 31]

[pic 32]

donde ϕ es la fase constante de con respecto a y en la figura se muestra dos fasores y [pic 33][pic 34][pic 35][pic 36]

La suma de los dos fasores y se ilustra en la figura, que también muestra que la magnitud E de la suma de los dos fasores es:[pic 37][pic 38][pic 39]

[pic 41][pic 40]

Para la intensidad de la onda total en el punto P como una función de la diferencia de fase entre las dos ondas de luz.

Ahora la diferencia de fase debe relacionarse con la diferencia de longitud de trayectoria. Una de las figuras muestra que la diferencia de longitud de trayectoria ∆x causa un cambio de fase dado por porque cuando ∆x =λ, el cambio de fase ϕ=2. Al observar que ∆x =d sen θ, la fase constante se puede expresar como: .[pic 42][pic 43][pic 44]

Así podemos escribir una ecuación para la intensidad de la luz producida por la interferencia desde dos rendijas como:

[pic 45]

Por último, podemos escribir una ecuación para el patrón de intensidad en una pantalla que resulta de luz coherente que incide en dos rendijas delgadas, bastante separadas, usando la aproximación antes analizada, que es válida cuando la pantalla está suficientemente lejos de las rendijas y θ es tan pequeño que sen θ ≈ tan θ = y/L:

[pic 46]

Por ejemplo, si la pantalla está a L = 2.0 m de las rendijas, éstas están separadas por d = 1.0x10–5 m, y la longitud de onda de la luz incidente es λ = 550 nm, se obtiene el patrón de intensidad mostrado en la figura. En esta figura, la intensidad varía de 4Imax a cero. Cubrir una rendija produce una intensidad de Imax en todos los valores de y. Iluminar ambas rendijas con luz que tiene fases aleatorias produce una intensidad de 2 Imax en todos los valores de y. Solo cuando ambas rendijas están iluminadas con luz coherente se observa el patrón oscilatorio en y que es característico de la interferencia de dos rendijas.

[pic 47][pic 48]

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Bibliografía

FREEDMAN, Y. A. (s.f.). UNIVERSITY PHYSICS - SEARS & ZEMANSKY`S (13 th ed., Vol. 2). (N. Whilton, Ed.) United States of America: PEARSON.

Tippens, P. E. (2011). Física conceptos y aplicaciones (Séptima edición revisada ed.). (L. Amador, Ed.) México, México, México: Mc Graw Hill.

Westfall,