Fundamentos de cálculos semana 7 IACC

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FUNDAMENTOS DE CÁLCULO

SEMANA 7

Derivadas e integrales

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ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 7[pic 7][pic 8][pic 9]

ÍNDICE

DERIVADAS E INTEGRALES        4

APRENDIZAJES ESPERADOS        4

INTRODUCCIÓN        4

1. REGLADELA CADENA        4

1. REGLA DE CADENA DE UNA FUNCIÓN POTENCIAL        4
2. REGLA DE CADENA DE UNA FUNCIÓN LOGARITMO NEPERIANO        5
3. REGLA DE CADENA DE UNA FUNCIÓN EXPONENCIAL        6

1. LA SEGUNDA DERIVADA        8
2. INTEGRALES        9

1. FÓRMULAS BÁSICAS DE INTEGRACIÓN        10

COMENTARIO FINAL        14

REFERENCIAS        15

DERIVADAS E INTEGRALES

APRENDIZAJES ESPERADOS

• Resolver derivadas e integrales de funciones en ejercicios matemáticos.

INTRODUCCIÓN

Del cálculo infinitesimal, descubierto por el alemán Gottfried W. Leibniz (1646-1716) y el inglés Isaac Newton (1642-1727), ya se ha estudiado la derivación, y para continuar se presentarán algunos métodos para calcular la derivada de una función.

También durante esta semana se revisará la integración, que es otra rama del cálculo.

1. REGLA DE LA CADENA

Si 𝑔 es derivable en 𝑥 y ƒ en 𝑔(𝑥), entonces la función compuesta 𝐹 = ƒ𝑜𝑔, definida mediante

𝐹(𝑥) = ƒ(𝑔(𝑥)), en derivable 𝑥 y 𝐹´, está dada por el producto 𝐹´(𝑥) = ƒ´(𝑔(𝑥)) · 𝑔´(𝑥).

1. REGLA DE CADENA DE UNA FUNCIÓN POTENCIAL

Sea g una función, entonces 𝑔𝑛 = 𝑛 · 𝑔𝑛−1 · 𝑔´

Ejemplo 1:

ƒ(𝑥) = (3𝑥2 + 2𝑥 + 1)5,

ƒ´(𝑥) = 5 · (3𝑥2 + 2𝑥 + 1)5−1 · (3𝑥2 + 2𝑥 + 1)′ = 5 · (3𝑥2 + 2𝑥 + 1)4 · (6𝑥 + 2)

Ejemplo 2:

3        1

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ƒ(𝑥) =  √2𝑥 − 3,  ƒ(𝑥) = (2𝑥 − 3)3,

1        1−1

[pic 11]

1        −2        2

[pic 12]        [pic 13]

− 2        2

[pic 14]

ƒ´(𝑥) =

3 · (2𝑥 − 3)3

· (2𝑥 − 3)′ =

3 · (2𝑥 − 3)

3 · 2 =

3 · (2𝑥 − 3)

3 =        3            

3 · √(2𝑥 − 3)2

1. REGLA DE CADENA DE UNA FUNCIÓN LOGARITMO NEPERIANO

Sea 𝑔 una función, entonces ln(𝑔) = g´[pic 15][pic 16]

Ejemplo 1:

ƒ(𝑥) = ln(4𝑥2 + 𝑥),

ƒ´(𝑥) =        8𝑥 + 1[pic 17]

(4𝑥2 + 𝑥)

Ejemplo 2:

ƒ(𝑥) = ln 𝑠𝑒𝑛 𝑥,

ƒ´(𝑥) = cos 𝑥[pic 18]

𝑠𝑒𝑛 𝑥

Ejemplo 3:

ƒ(𝑥)

= ln (

2𝑥2 + 2

𝑥2        ),[pic 19]

Recordemos que por propiedad de logaritmos se tiene que:

𝑎        ( )

[pic 20]

ln (𝑏) = ln 𝑎

− ln(𝑏)

Aplicando esta propiedad en el ejemplo, tenemos que:

ƒ(𝑥)

= ln (

2𝑥2 + 2

𝑥2        ) = ln( 2𝑥2[pic 21]

+ 2) − ln( 𝑥2)

ƒ′(𝑥) = [ln( 2𝑥2 + 2) − ln( 𝑥2)]´

′(  )

(2𝑥2 + 2)′

[pic 22]

(𝑥2)′

[pic 23]

4𝑥

2𝑥

[pic 24]

(4𝑥 · 𝑥2) − (2𝑥 · (2𝑥2 + 2))

[pic 25]

ƒ 𝑥  =

2𝑥2 + 2   −

𝑥2     = 2𝑥2 + 2 − 𝑥2 =

𝑥2 · (2𝑥2 + 2)

4𝑥3 − (4𝑥3 + 4𝑥)[pic 26]

4𝑥3 − 4𝑥3 − 4𝑥

4𝑥        2        2

=        𝑥2 · (2𝑥2 + 2)        = 𝑥2 · (2𝑥2 + 2)   = − 2𝑥2 · (𝑥2 + 1) = − 𝑥(𝑥2 + 1) = − 𝑥3 + 𝑥[pic 27][pic 28][pic 29][pic 30][pic 31]

1. REGLA DE CADENA DE UNA FUNCIÓN EXPONENCIAL

Sea g una función y a un número, entonces:

a)        𝑎g = 𝑎g  · ln 𝑎 · 𝑔´

b)        𝑒g = 𝑒g · 𝑔´

Ejemplo 1:

ƒ(𝑥)  =  𝑒𝑥2, ƒ´(𝑥)  = 𝑒𝑥2  · 2𝑥

Ejemplo 2:

ƒ(𝑥) = 𝑒𝑠𝑒𝑛𝑥2,

ƒ´(𝑥) = 𝑒𝑠𝑒𝑛𝑥2 · cos 𝑥2 · 2𝑥

Ejemplo 3:

ƒ(𝑥) = 𝑒𝑥3 4√2𝑥−2[pic 32]

...