Ensayo sobre las raíces características
Enviado por Hugo Espinoza • 23 de Julio de 2018 • Apuntes • 1.539 Palabras (7 Páginas) • 475 Visitas
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
Universidad del Perú, Decana de América
[pic 1]
SISTEMAS DE CONTROL I
TEMA: RAÍCES CARACTERÍSICAS
Docente : Ing. Jo
Alumno: Espinoza Salome Hugo Fernando
Código: 12190039
2017
RAÍCES CARACTERÍSTICAS
La estabilidad de Sistemas de Control es la característica más importante de los sistemas de control, se refiere a que si el sistema es estable o inestable. Un sistema de control es estable si ante cualquier entrada acotada, el sistema posee una salida acotada. Para comprobar la estabilidad de un sistema se tiene que analizar la función de transferencia.
[pic 2]
Nos quedarán dos ecuaciones, una en el numerador y otra en el denominador. La ecuación de denominador se llamará ecuación característica y para estudiar la estabilidad del sistema tendremos que averiguar las raíces de la ecuación característica.
La estabilidad de un Sistema se puede determinar por la ubicación de los polos (raíces de la ecuación característica) en el plano s. Si alguno de los polos de la ecuación característica se encuentra en el semiplano derecho el sistema es inestable.
[pic 3]
[pic 4]
- LUGAR DE LAS RAICES CARACTERÍSTICAS
El lugar de las raíces es una construcción gráfica, en el plano imaginario, de las raíces de la ecuación característica de un lazo de control para diferentes valores de la ganancia o algún otro parámetro del controlador del lazo de control
Mediante la construcción del lugar de las raíces se puede estudiar la estabilidad del lazo de control de un proceso y analizar el efecto de cambiar algunos términos del lazo de control en la estabilidad del mismo.
Por comodidad comenzaremos analizando el sistema de segundo orden ya que ésta nos provee información que nos servirá de base para el futuro análisis del lugar geométrico de las raíces.
Sea la función de transferencia en lazo cerrado:
[pic 5]
[pic 6]
[pic 7]
[pic 8]
Si Polos complejos[pic 9]
Si Polos reales[pic 10]
Luego es conveniente expresar:
[pic 11]
Donde:
[pic 12]
[pic 13]
[pic 14]
El factor de amortiguamiento Relativo es el cociente entre el amortiguamiento real B y el amortiguamiento crítico Bc[pic 15]
[pic 16]
[pic 17]
Luego en términos de y Wn, el sistema de la figura 1 se convierte en la figura 2 y la función de transferencia es la que sigue:[pic 18]
[pic 19]
[pic 20]
El comportamiento dinámico del sistema de 2 orden, se describe en términos de dos parámetros .[pic 21]
Por ejemplo si:
Se dice que posee polos complejos conjugados en el semiplano izquierdo del plano s y se dice que el sistema es Sub-amortiguado con una respuesta transitoria oscilatoria.[pic 22]
[pic 23]
[pic 24]
[pic 25]
[pic 26]
Donde si:
[pic 27]
Tenemos raíces complejas conjugadas.
Resumiendo en nuestra tabla.
[pic 28] | Raíces | Forma de las raíces | Sistema |
[pic 29] | Complejas conjugadas | [pic 30] | Subamortiguado |
[pic 31] | Reales iguales | [pic 32] | Críticamente amortiguado |
[pic 33] | Reales | [pic 34] | Sobreamortiguado |
[pic 35] | Complejas con parte imaginaria | [pic 36] | Oscilatorio |
Sabemos que:
[pic 37]
Donde:
[pic 38]
[pic 39]
[pic 40]
[pic 41]
Si tomamos la transformada de Laplace ante una entrada escalón unitario obtendríamos:
[pic 42]
Como se puede analizar en la ecuación la respuesta se vuelve mas oscilatoria con sobrepasos mayores mientras disminuye. Cuando la respuesta no muestra sobrepaso, es decir no excede el valor final. Tambien se muestra que Wn tiene un efecto sobre el tiempo de levantamiento, de retardo y asentamiento pero no afecta el sobrepaso.[pic 43][pic 44]
En la figura siguiente se muestra la relación entre la localización de las raíces de la ecuación característica y [pic 45]
[pic 46]
Si Wn: cte
Lugar geométrico si la frecuencia de amortiguamiento es cte:
[pic 47]
En esta gráfica, observamos que el eje corresponde a δ=0 o α=0, el cual resulta de una oscilación permanente, se dice que el sistema es marginalmente estable o marginalmente inestable. Como hemos visto el sistema de segundo orden nos ayuda a entender que la localización de las raíces juega un papel importante en la respuesta transitoria del sistema.
[pic 48]
Aquí observamos el lugar geométrico de las raíces de la ecuación características del sistema base que hemos tomado es decir el de segundo orden, cuando Wn se mantiene constante y el factor varía desde -∞ +∞.
Acontinuacion como resumen expondremos la forma de repuesta al escalon, ademas del lugar geométrico de cada sistema.
Sistema Subamortiguado
>> num=[1];
>> den=[1 1 1];[pic 49]
[pic 50]
[pic 51]
>> g1=tf(num,den)
Transfer function:
1
-----------
s^2 + s + 1
>> step(g1)
>> grid
>> rlocus(g1)
Sistema Críticamente Amortiguado
...