CURIOSOS PROBLEMAS DE GEOMETRÍA
Enviado por Julio Angel Miranda Ubaldo • 11 de Abril de 2019 • Trabajo • 5.191 Palabras (21 Páginas) • 407 Visitas
[pic 1]
Autor: Julio A. Miranda Ubaldo
Profesor de Matemáticas
Huaral – Perú
[pic 2]El área de un cuadrilátero según los Babilonios
Demostrar que la antigua fórmula babilónica para hallar el área de un cuadrilátero no rectangular AB cuya longitud de sus lados consecutivos a , b ,c y d dada por:
[pic 3] ....... [pic 4]
es “mayor” que el área que obtenemos del mismo cuadrilátero no rectangular actualmente.
Esta curiosa fórmula incorrecta aparece en una inscripción hallada en la tumba del faraón Ptolomeo XI que murió en el año 51 A.C.
Solución:
Considérese la siguiente figura:
[pic 5]
Que muestra a un cuadrilátero no rectangular cualquiera ABCD cuyas longitudes de sus lados consecutivos son a saber: AB = a , BC = b, CD = c y AD = d.
Para calcular su área trazamos la diagonal BD haciendo que m ∠BAD = α y m ∠BCD = β, luego:[pic 6]
Entonces el área del cuadrilátero ABCD estará dado por:
[pic 7] .....(1)
De otro lado sabiendo que: sen α ≤ 1 y sen β ≤ 1
Podemos llegar a:
[pic 8] .....(2) y [pic 9] .....(3)
Sumando miembro a miembro (2) y (3):
[pic 10] .....(4)
Análogamente trazamos la diagonal AC haciendo que m ∠ABC = θ y m ∠BCD = ω, luego:
Tendremos que el área del cuadrilátero ABCD estará dado por:
[pic 11]
Luego: [pic 12] .....(5)
Sumando (4) y (5):
[pic 13] Factorizando: [pic 14]
De acuerdo a [pic 15] :
[pic 16] por lo tanto: [pic 17]
Ejemplo:
Hallar el área del cuadrilátero ABCD mostrado en la figura:
[pic 18]
Solución:
El área del cuadrilátero mostrado vale : A = 36 (ejercicio que se deja al amable lector)
Usando la antigua fórmula babilónica su área será:
[pic 19] ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡
Luego AB es mucho mayor que A es decir: [pic 20]
[pic 21]Representación gráfica de las Medias
En el libro III de la “Colección” de Pappus encontramos la siguiente interesante representación geométrica de algunas medias.
“Tómese B en el segmento AC, no siendo B el punto medio O de AC. Levántese una perpendicular a AC en B que corte la semicircunferencia de AC en D, y sea F el pie de la perpendicular desde B sobre OD. Demuéstrese que OD, BD y FD representan la media aritmética, la media geométrica y la media armónica de los segmentos AB y BC, y demuéstrese que, si AB ≠ BC,
M.Armónica < M.Geométrica < M.Aritmética
Solución:
De acuerdo al problema graficamos la siguiente figura:[pic 22]
Si AB = a y BC = b entonces: [pic 23] .....(1) pues OD es el radio de la semicircunferencia que es la mitad del diámetro “a+b” , (1) representa la media aritmética de AB y BC.
Se deduce además que: BO = AO – AB = [pic 24]
Por Teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo DBO :
OB = [pic 25]
Entonces:
[pic 26] .....(2) que representa la media geométrica de AB y BC.
Por relaciones métricas en el triángulo rectángulo DBO:
[pic 27] por tanto: [pic 28] ....(3) que representa la media armónica de AB y BC.
En el triángulo rectángulo DBO : [pic 29]DB < OD (recuerda que los catetos son menores que la hipotenusa)
Del mismo modo en el triángulo rectángulo OFB : DF < DB
Por tanto de estas dos últimas desigualdades: DF < DB < OD .....(4)
De (1), (2) y (3) en (4): [pic 30]< [pic 31]< [pic 32]
Luego: M.Armónica < M.Geométrica < M.Aritmética
[pic 33]La Media armónica de Pappus
En el libro III de la “colección”, Pappus da la siguiente construcción clara de la media armónica de dos segmentos dados OA y OB de la figura mostrada. “En la perpendicular a OB en B tómese BD = BE, y sea la perpendicular a OB en A tal que corte a OD en F. Trácese FE tal que corte OB en C. Entonces, OC es la media armónica buscada, demuéstrese esto”.
Solución
Veamos la siguiente figura dibujada a partir del enunciado anterior:
[pic 34]
Siendo: OA = a ; OB = b ; DB = n y FA = m.
Vamos a demostrar que OC es media armónica de OA y OB, es decir: [pic 35][pic 36]
...