Algunas aplicaciones EDO

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- Y2 = cx

Solución:

Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas

y2 = Cx (ecuación 1)

Posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación se deriva solo una vez.

Derivando implícitamente la ecuación 1 respecto de x resulta:

2yy’ = C (ecuación2)

Como la ecuación 2 aún contiene la constante arbitraria C, dicha ecuación no representa la ecuación diferencial asociada. Debe recordarse que una de las características de las ecuaciones diferenciales es que no poseen constantes arbitrarias.

Por lo tanto, la constante arbitraria C debe eliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones (1) y (2).

Y2 = Cx

2yy' = C

Aquí basta con sustituir la ecuación (2) en la ecuación (1), resultando:

Y2 = 2yy’x (ecuación 3)

La ecuación 3 representa la ecuación diferencial asociada a la familia de parábolas Y2 = Cx.

Una vez obtenida la ecuación diferencial dada, debe determinarse la ecuación diferencial asociada a las trayectorias ortogonales a la familia Y2 = cx Para ello, basta con sustituir y’ en la ecuación 3 por , resultando:[pic 7]

Y2 = 2y x[pic 8]

Multiplicando por [pic 9]

Y’ = - [pic 10]

Ya que la diferencial de la variable y está dada por dy = y’ dx, sustituyendo y’ se tiene:

dy = − 2 dx (ecuación 4)[pic 11]

Esta es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las variables basta con multiplicar la ecuación 4 por y

y dy = – 2 x dx

Equivalentemente

y dy + 2x dx = 0

Integrando

=C1 (ecuación 5)[pic 12]

Ambas integrales son inmediatas

= + k1[pic 13][pic 14]

= + k2[pic 15][pic 16]

Sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación 5

+ x2 = K[pic 17]

Multiplicando por [pic 18]

(Ecuación 6)[pic 19]

La ecuación (6), que es la ecuación de una familia de elipses con centro en el origen y eje mayor paralelo al eje y, representa la familia de trayectorias ortogonales a la familia de parábolas Y2 = Cx (Facultad de Ingeniería)

- Modelo de crecimiento logístico

Pierre François Verhulst (28 de octubre de 1849 en Bruselas; 15 de febrero, también en Bruselas).

Fue un matemático belga. Hoy en día se le conoce principalmente como el descubridor de la ecuación logística que lleva su nombre.

Comenzó a estudiar primeramente Filología clásica en Bruselas, se orientó luego al estudio de las matemáticas en Gante done obtuvo du grado de doctor en 1825. Como estudiantes obtuvo dos premios por sus trabajos sobre cálculo de variaciones. Más tarde publico artículos en otras áreas como la teoría de números y la física.

Su modelo matemático del crecimiento de la población, presentado en 1838 estaba basado en las estadísticas disponibles y complementaba la teoría del crecimiento exponencial través de términos que expresan los factores que frenan del crecimiento.

Verhulst se basó en la teoría de Thomas Malthus el cual ya tenía un modelo de llamado modelo de Maltusiano.

Thomas Malthus Nacido en Surrey el 13 de febrero de 1766, su principal estudio fue el Ensayo sobre el principio de la población (1798), en el que afirmaba que la población tiende a crecer en progresión geométrica, mientras que los alimentos sólo aumentan en progresión aritmética, por lo que la población se encuentra siempre limitada por los medios de subsistencia. Malthus fue educado según los principios pedagógicos de Jean-Jacques Rousseau, de quien su padre era íntimo amigo. Completó sus estudios en el Jesús Collage de Cambridge. Después de graduarse en filosofía y teología, fue ordenado pastor anglicano y estuvo durante un tiempo al frente de la parroquia de Albury. En 1793 fue designado miembro del equipo de dirección del Jesús Collage, puesto al que tuvo que renunciar en 1804 al contraer matrimonio. Por esas mismas fechas, la Compañía de las Indias Orientales fundó Haileybury, una nueva institución universitaria destinada a formar a los funcionarios que después servirían a Inglaterra en destinos de ultramar; allí ejerció Malthus como profesor de economía desde 1805 hasta su muerte.

- Modelo Malthusiano

En este modelo de crecimiento poblacional supone que la tasa de variación instantánea de una población es proporcional, en todo momento, a la población existente. Este tipo de modelo se usan para estudiar, por ejemplo, la forma como cambia la población de un cultivo de bacterias cuando estas se reproducen por división celular. Se supone asimismo que las bacterias tienen condiciones adecuadas para su reproducción. La temperatura es apropiada, tienen espacio vital y alimento suficiente.

Si P(t) denota la cantidad de bacterias que hay en el cultivo en el instante t, se tiene que la variación instantánea de esta, dada por , es proporcional a la población. Por lo que[pic 20]

= k P(t)[pic 21]

Si la población inicial de bacterias es P0, usando el método de variables separables, el lector puede mostrar que al tomar P(0) = Po como condición inicial, entonces la solución particular está dada por la función

P (t) =P0 * ekt

Es de notar que en este modelo no han sido tomados en cuenta muchos factores que pueden afectar el crecimiento