HKGGHF la derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales;

...

ln ⁡ x {\displaystyle f(x)=x\ln x} f(x)=x\ln x alrededor de a = 1 se puede tomar z = x − 1 {\displaystyle z=x-1} z=x-1, de manera que se desarrollaría f ( z + 1 ) = ( z + 1 ) ln ⁡ ( z + 1 ) {\displaystyle f(z+1)=(z+1)\ln(z+1)} f(z+1)=(z+1)\ln(z+1) centrada en 0.

Historia[editar]

El filósofo eleata Zenón de Elea consideró el problema de sumar una serie infinita para lograr un resultado finito, pero lo descartó por considerarlo imposible: el resultado fueron las paradojas de Zenón. Posteriormente, Aristóteles propuso una resolución filosófica a la paradoja, pero el contenido matemático de esta no quedó resuelto hasta que lo retomaron Demócrito y después Arquímedes. Fue a través del método exhaustivo de Arquímedes que un número infinito de subdivisiones geométricas progresivas podían alcanzar un resultado trigonométrico finito.1 Independientemente, Liu Hui utilizó un método similar cientos de años después.2

En el siglo XIV, los primeros ejemplos del uso de series de Taylor y métodos similares fueron dados por Madhava de Sangamagrama.3 A pesar de que hoy en día ningún registro de su trabajo ha sobrevivido a los años, escritos de matemáticos hindúes posteriores sugieren que él encontró un número de casos especiales de la serie de Taylor, incluidos aquellos para las funciones trigonométricas del seno, coseno, tangente y arcotangente.

En el siglo XVII, James Gregory también trabajó en esta área y publicó varias series de Maclaurin. Pero en 1715 se presentó una forma general para construir estas series para todas las funciones para las que existe y fue presentado por Brook Taylor, de quién recibe su nombre.

Las series de Maclaurin fueron nombradas así por Colin Maclaurin, un profesor de Edinburgo, quién publicó el caso especial de las series de Taylor en el siglo XVIII.

Función analítica[editar]

Si una serie de Taylor converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la suma es igual a f(x), entonces la función f(x) se llama analítica. Para comprobar si la serie converge a f(x), se suele utilizar una estimación del resto del teorema de Taylor.

Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor.

Se suele aproximar una función mediante un número finito de términos de su serie de Taylor. El Teorema de Taylor facilita la estimación cuantitativa del error de dicha aproximación. Se denomina polinomio de Taylor al número finito de los términos iniciales de la serie de Taylor de una función. La serie de Taylor de una función es, en caso de existir, el límite del polinomio de Taylor de esa función. Una función puede no ser igual a la serie de Taylor ni siquiera convergiendo tal serie para cada punto. Una función igual a su serie de Taylor en un intervalo abierto (o un disco en el plano complejo) se denomina función analítica..

Series de McLaurin (Taylor alrededor del número 0) notables[editar]

La función coseno.

Una aproximación de octavo orden de la función coseno en el plano de los complejos.

Las dos imágenes superiores unidas.

A continuación se enumeran algunas series de Taylor de funciones básicas. Todos los desarrollos son también válidos para valores complejos de x.

Función exponencial y logaritmo natural[editar]

e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! , ∀ x ; n ∈ N 0 {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\quad ,\forall x;n\in \mathbb {N} _{0}} e^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!}\quad, \forall