METODO DE LA SERIE DE TAYLOR
Enviado por Christopher • 29 de Marzo de 2018 • 1.921 Palabras (8 Páginas) • 456 Visitas
...
[pic 43]
yi+1 = yi + hf(ti, yi)
y0= [pic 44]
[pic 45]
yi+1 = yi + h(2tiyi)
y0= [pic 46]
i = 0,1,2,3,4 ti = 1+0.1i
[pic 47]
Si se utiliza el método de Taylor de orden 2,
[pic 48]
[pic 49]
y0= [pic 50]
En este ejemplo,
f '(t, y) = 2ty
f '(t, y) = 2y + 2ty', recuerde que y = y(t) y [pic 51] = y' = f(t, y)
f '(t, y) = 2y + 2t(2ty) = 2y(1 + 2t 2)
Luego
[pic 52]
yi+1 = yi + h(2tiyi) + h2yi(1 + 2ti2), i = 0,1,2,3,4 ti = 1+0.1i
y0= 1
y1 = y0 + h(2t0y0) + h2y0(1 + 2t02) = 1 + 0.1(2(1)(1)) + (0.1)2(1)(1 + 2(1)2) = 1.23
y2 = y1 + h(2t1y1) + h2y1(1 + 2t12) = 1.5427
y3 = 1.9728
y4 = 2.5721
y5 = 3.4188
En la tabla se muestra la comparación entre los valores aproximados en ti y los valores reales y(ti).
ti
Euler yi
Taylor orden 2
yi
Valor exacto[pic 53]
Error en Euler
|y(ti)- yi|
Error con Taylor orden 2
|y(ti)- yi|
1.0
1.0
1.0
1.0000
0.0000
0.0000
1.1
1.2
1.23
1.2337
0.0337
0.0037
1.2
1.4640
1.5427
1.5527
0.0887
0.0100
1.3
1.8154
1.9728
1.9937
0.1784
0.0210
1.4
2.2874
2.5721
2.6117
0.3244
0.0396
1.5
2.9278
3.4188
3.4904
0.5625
0.0715
Si se quiere encontrar una aproximación a un punto intermedio de la tabla, por ejemplo en t = 1.35 se puede usar interpolación lineal en las aproximaciones dadas por el método de Euler o Taylor de orden dos en t = 1.3 y t = 1.4.
La aproximación a la solución en t = 1.35 usando interpolación lineal y los resultados del método de Taylor de orden 2 es:
[pic 54]
6.2 METODO DE EULER Y EULER MEJORADO
En matemática y computación, el método de Euler, llamado así en honor de Leonhard Euler, es un procedimiento de integración numérica para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias a partir de un valor inicial dado.
El método de Euler es el más simple de los métodos numéricos resolver un problema del siguiente tipo:
[pic 55]
Consiste en multiplicar los intervalos que va de [pic 56] a [pic 57] en [pic 58] subintervalos de ancho [pic 59]; osea:
[pic 60]
de manera que se obtiene un conjunto discreto de [pic 61] puntos: [pic 62] del intervalo de interés [pic 63]. Para cualquiera de estos puntos se cumple que:
[pic 64] [pic 65].
La condición inicial [pic 66], representa el punto [pic 67] por donde pasa la curva solución de la ecuación de el planteamiento inicial, la cual se denotará como [pic 68].
Ya teniendo el punto [pic 69] se puede evaluar la primera derivada de [pic 70] en ese punto; por lo tanto:
[pic 71]
[pic 72]
Grafica A.
Con esta información se traza una recta, aquella que pasa por [pic 73] y de pendiente [pic 74]. Esta recta aproxima [pic 75] en una vecinidad de [pic 76]. Tómese la recta como reemplazo de [pic 77] y localícese en ella (la recta) el valor de y correspondiente a [pic 78]. Entonces, podemos deducir según la Gráfica A:
[pic 79]
Se resuelve para [pic 80]:
[pic 81]
Es evidente que la ordenada [pic 82] calculada de esta manera no es igual a [pic 83], pues existe un pequeño error. Sin embargo, el valor [pic 84] sirve para que se aproxime [pic 85] en el punto [pic 86] y repetir el procedimiento anterior a fin de generar la sucesión de aproximaciones siguiente:
[pic 87]
Método
...