El estudio de la serie de Taylor

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Este hecho explica la necesidad de usar un índice n en estos dos símbolos. Como ayuda para recordar, podemos identificar a n como el orden de la derivada superior en Pn. (en caso especial de n=0, no aparecerá ninguna derivada en Pn.)

La presencia de Rn en la fórmula de Taylor con residuo, se debe al hecho de que aquí tratamos con una función arbitraria que no siempre se puede transformar exactamente en la forma polinomial mostrada en la fórmula de Taylor sin residuo, sino solo se puede aproximar. Por lo tanto, se incluye un término residual como complemento para la parte de Pn, a fin de representar la discrepancia entre , con el término Rn como una medida del error de aproximación. Si elegimos n=1.[pic 62][pic 63]

Por ejemplo tenemos:

11+R1[pic 64][pic 65]

Donde P1 consta de términos y constituye una aproximación lineal a . Si elegimos , aparecerá un término de segunda potencia, de tal manera que [pic 66][pic 67][pic 68]

22+R2[pic 69][pic 70]

Donde P2, que consta de términos, es una aproximación cuadrática a . Y así sucesivamente. El hecho de que podamos crear aproximaciones polinomiales a alguna función arbitraria (siempre y cuando tenga derivadas continuas, finitas) es de gran importancia práctica. Las funciones polinomiales, incluso las de grado superior, son relativamente fáciles de resolver, y si sirven como buenas aproximaciones para algunas funciones difíciles, nos facilitaran el camino.[pic 71][pic 72]

Debemos señalar que la función arbitraria podría abarcar el polinomio de n-esimo grado de como un caso especial. Para este último caso, si el desarrollo es hacia otro polinomio de n-esimo grado, el resultado de ña formula de Taylor sin residuo se aplicara de manera exacta; en otras palabras, podemos usar el resultado de la fórmula de Taylor con residuo, con Rn . Sin embargo si el polinomio de n-esimo grado se va a desarrollar hacia un polinomio de menor grado, entonces este último podemos considerarlo solo como una aproximación a , y debe aparecer un residuo; en ese caso, el resultado de la fórmula de Taylor con residuo se puede aplicar con un residuo no cero. Por lo tanto, la fórmula de Taylor en la forma de fórmula de Taylor con residuo es perfectamente general.[pic 73][pic 74][pic 75][pic 76]

Expansión de Taylor y Extremo Relativo

El desarrollo de una función en una serie de Taylor es útil como un mecanismo de aproximación en las circunstancias que cuando pero por el momento nuestro interés se centra en la obtención de un criterio general para un extremo relativo.[pic 77][pic 78]

Para una mejor comprensión del tema, definimos de nuevo un extremo relativo, como:

Una función acanza un valor máximo (mínimo) relativo en si es negativa (positiva) para valores de x en la vecindad inmediata de tanto a su izquierda como a su derecha.[pic 79][pic 80][pic 81][pic 82]

Donde es un valor de x a la izquierda d , y es un valor de x a la derecha de [pic 83][pic 84][pic 85][pic 86]

En la figura (a), es un maximo relativo; por lo tanto, excede a [pic 87][pic 88][pic 89]

En la figura (b) es un minimo relativo y por consiguiente tenemos: [pic 90]

[pic 91]

[pic 92][pic 93]

Si suponemos que tiene derivadas continuas, finitas, hasta el orden deseado en el punto la funcion que no es necesariamente un polinomio, podemos expanirla en torno al punto como una serie de taylor.[pic 94][pic 95][pic 96][pic 97]

[pic 98]

Si podemos el signo de la expresión para valores de x a la izquierda y derecha inmediatas de , llegamos a una conclusión en cuanto a si es un extremo, y en caso afirmativo, si es un máximo o un mínimo, por eso es necesario que examinemos la suma del lado derecho. En total, hay (n+1) términos en esta suma, n términos de mas el residuo que es de grado (n+1), y por tanto el número real de términos es indefinido; así que depende del valor elegido de n.[pic 99][pic 100][pic 101][pic 102]

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Diferencial de segundo orden. Formula de Taylor

Sea abierto y Se define la diferencial de segunda de en el punto como la aplicación dada[pic 103][pic 104][pic 105][pic 106][pic 107][pic 108][pic 109]

[pic 110][pic 111]

Si llamamos entonces la diferencial segunda puede escribirse en la forma siguiente:[pic 112]

= ) [pic 113][pic 114][pic 115]

Y, por tanto, la diferencial segunda de en es la forma cuadrática asociada a la matriz hessiana de en .[pic 116][pic 117][pic 118][pic 119]

Si desarrollamos la anterior expresión matricial y llamamos , obtenemos otra forma de representar la diferencial segunda:[pic 120]

[pic 121]

Ejemplo.

Dada la función calcuemos [pic 122][pic 123]

Hallamos en primer lugar la matriz hessiana de en el punto = (1,1). Las derivadas parciales de primer y segundo orden de la función están dadas por:[pic 124][pic 125]

[pic 126]

[pic 127]

Su matriz hessiana es:

[pic 128]

La diferencial segunda de en el punto (1,1) es igual a:[pic 129]

[pic 130]

Formula de Taylor.

Dada una función derivable hasta el orden en un entorno de un punto , la fórmula de Taylor permite aproximar en las cercanías del punto dicha función por un polinomio de grado , conocido como polinomio de Taylor. Concretamente, la fórmula de Taylor afirma que:[pic 131][pic 132][pic 133][pic 134]

[pic 135]

Donde es el polinomio de Taylor de grado dado por:[pic 136][pic 137]

[pic 138]

y