MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE EL CONCEPTO DE SERIE NUMÉRICA

...

[pic 37]

Resulta ahora claro que para [pic 38]se tiene que [pic 39].

Como [pic 40], se concluye que la serie [pic 41] es convergente y que su suma es [pic 42].

SERIES GEOMÉTRICAS

Una de las dificultades que se presentan al analizar el comportamiento de una serie numérica estriba en no poder determinar cuál es el modelo al que se ajusta su sucesión de sumas parciales [pic 43]. Esta modelación resulta particularmente sencilla en el caso de las denominadas series geométricas.

Se denomina serie geométrica a aquella en la cual el cociente de cada sumando entre el sumando que le precede es un valor constante [pic 44], denominado razón de la serie geométrica.

Esto significa que si el primer sumando de la serie es el número [pic 45], se tendrá que:

[pic 46]

y así sucesivamente.

De este modo, las series geométricas son del tipo [pic 47], donde [pic 48] y [pic 49] son números constantes.

Si consideramos la suma parcial [pic 50]de una serie de este tipo, tendremos que

[pic 51].

Multiplicando ambos miembros de esta igualdad por [pic 52], obtenemos la igualdad

[pic 53]

Si a esta igualdad le restamos la anterior se obtiene que

[pic 54]

Extrayendo el factor común [pic 55] que aparece en el primer miembro y despejando, se obtiene finalmente que

[pic 56]

que es el modelo que permite calcular la suma parcial [pic 57] de la serie geométrica de razón [pic 58]que comienza en el número [pic 59].

A partir de este modelo, y tomando en consideración que cuando [pic 60] la expresión [pic 61] tiende a [pic 62], es fácil concluir que las series geométricas cuya razón es mayor que 1 son siempre divergentes.

Si, por el contrario, [pic 63]está ubicado entre [pic 64] y [pic 65] , se tiene que [pic 66], de donde se deduce que [pic 67], con lo que la serie geométrica resulta convergente, con suma igual a [pic 68].

Ejemplo de aplicación de las series geométricas

- Consideremos el número decimal periódico [pic 69] y determinemos cuál es el número racional del cual proviene.

Queda claro que el número [pic 70] puede ser escrito en la forma

[pic 71]

La expresión que aparece entre paréntesis es una serie geométrica de razón [pic 72]. Esta serie converge pues su razón es un número positivo menor que 1, y su suma es [pic 73]

Resulta entonces que

[pic 74]