ESTUDIO DE SERIES Y FUNCIONES ESPECIALES
Enviado por karlo • 16 de Noviembre de 2018 • 1.304 Palabras (6 Páginas) • 463 Visitas
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- Teniendo en cuenta las siguientes definiciones en cada caso, escoge la respuesta correcta:
Un punto ordinario de una ecuación diferencial de la forma es aquel punto en el cual ambas funciones son analíticas; es decir, pueden representarse en series de potencias de con radio de convergencia [pic 102][pic 103][pic 104][pic 105][pic 106]
Mientras que un punto singular no tiene representación en series de potencias [pic 107]
De la siguiente ecuación se puede afirmar que:[pic 108]
- ordinario, así como el resto de los reales[pic 109]
- irregular, ordinarios[pic 110][pic 111]
- ordinario y ordinarios[pic 112][pic 113]
- singular regular ordinarios[pic 114][pic 115]
PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA
RAZÓN O EXPLICACIÓN
Para poder determinar cuando se es posible usar el método de las series de potencias, reescribimos la ecuación diferencial de la forma:
[pic 116]
Teniendo entonces la ecuación diferencial del ejercicio:
[pic 117]
Se puede observar de la ecuación anterior todos los coeficientes son funciones analíticas dado todos los puntos, pero si escribimos la ecuación diferencial de la forma: , tenemos qué:[pic 118]
[pic 119]
De la ecuación encontrada, se puede notar qué:
[pic 120]
Y de allí, no es analítica en x = 0.[pic 121]
De forma, para x = 0 se denomina un punto singular regular, y tendríamos que tener qué x ≠ 0 sea ordinario para poder analizar la ecuación diferencial desde una representación en series de potencias.
La respuesta correcta es D.
ÍTEMS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON MÚLTIPLE RESPUESTA
Este tipo de preguntas consta de un enunciado, problema o contexto a partir del cual se plantean cuatro opciones numeradas de 1 a 4, usted deberá seleccionar la combinación de dos opciones que responda adecuadamente a la pregunta y marcarla en la hoja de respuesta, de acuerdo con la siguiente información:
Marque A si 1 y 2 son correctas.
Marque B si 1 y 3 son correctas.
Marque C si 2 y 4 son correctas.
Marque D si 3 y 4 son correctas.
- La solución general de la ecuación mediante series de potencia es:[pic 122]
- [pic 123]
- [pic 124]
- [pic 125]
- [pic 126]
PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA
RAZÓN O EXPLICACIÓN
- Halle la solución general de la ecuación diferencial, usando series de potencias. Exprese dicha ecuación mediante funciones elementales.
[pic 127]
- [pic 128]
- [pic 129]
- [pic 130]
- [pic 131]
PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA
RAZÓN O EXPLICACIÓN
Es [pic 132] Ambas analíticas en x0 = 0 con R1 = R2 = 1
Luego existe solución analítica en x0 = 0, válida al menos para [pic 133].
Sustituyendo [pic 134] en la ecuación diferencial:
[pic 135]+ [pic 136]+2[pic 137]- 2[pic 138]≡ 0
Término independiente: [pic 139] [pic 140]
Coeficiente de x: [pic 141] [pic 142]
............................ ................................. .................
Coeficiente de xn : [pic 143]
Luego a0 y a1 libres, a2 = a0 , a3 = 0,
[pic 144][pic 145] n ≥ 2
Como a3 = 0 ⇒ a5 = a7 =... = a2n+1 =... = 0
[pic 146] = [pic 147][pic 148]
Por tanto:
y = [pic 149]
En este caso puede sumarse la serie:
y = [pic 150]
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