Lógica – FCE CIRCUITOS LÓGICOS

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(iv) Asociatividad:

(8a) (a + b) + c = a + (b + c) (8b) (a * b) * c = a * (b * c)

Teorema 1.3: Sea a un elemento cualquiera de un álgebra de Boole B, se cumple:

(i)

Unicidad del complemento:

(ii)

Si a + x = 1 y a * x = 0, entonces

Involución:

x = a

a = a

(iii) (9a) 0 = 1 (9b) 1 = 0[pic 11]

Teorema 1.4: Leyes de De Morgan

(10a)[pic 12][pic 13][pic 14][pic 15][pic 16][pic 17]

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a + b = a * b

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(10b)

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a * b = a + b

Es importante insistir que el álgebra de Boole es la estructura algebraica de la lógica de enunciados. En efecto, si se reemplazan las variables a, b, c, … por variables proposicionales, la suma y el producto por la disyunción y la conjunción respectivamente, el complemento por la negación, la igualdad por el bicondicional, y 1 y 0 por V y F respectivamente, todos los axiomas y teoremas del álgebra de Boole se transforman en axiomas o teoremas de la lógica de enunciados. Por ejemplo:

(2b) a * (b + c) = (a * b) + (a * c) p ∧ (q ∨ r) ↔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) (5a) a + a = a p ∨ p ↔ p

(7a) a + (a * b) = a p ∨ (p ∧ q) ↔ p

(10b) a * b = a + b[pic 18][pic 19][pic 20]

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¬(p ∧ q) ↔ ¬p ∨ ¬q

1.6 Forma de suma de productos

Considérese un conjunto de variables a, b, c, d, … .

∙ Una expresión booleana E en estas variables es o una variable o una expresión construida con estas variables y usando las operaciones booleanas +, * o . Por[pic 21]

ejemplo, las siguientes son expresiones booleanas:

(a + bc) + (abc + ab)[pic 22][pic 23][pic 24][pic 25][pic 26]

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((abc + b) + ac)

∙ Un literal es una variable o una variable complementada. Por ejemplo, a, a , b, b son literales.[pic 27][pic 28]

∙ Un producto fundamental es un literal o un producto de dos o más literales en el cual no hay dos literales con la misma variable. Por ejemplo, ac , abc , a, b , bc , abc son[pic 29][pic 30][pic 31][pic 32][pic 33]

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productos fundamentales. En cambio, abac y abcb no son productos fundamentales: el primero contiene a y a , mientras que el segundo contiene b dos veces.[pic 34][pic 35]

∙ Una expresión booleana E está en forma de suma de productos si E es un producto fundamental o una suma de dos o más productos fundamentales. Por ejemplo, la siguiente expresión está en suma de productos:

ac + abc + abc[pic 36][pic 37][pic 38][pic 39]

Pero la siguiente expresión no está en forma de suma de productos:

ac + aba + abc[pic 40][pic 41][pic 42]

ya que el segundo término no es un producto fundamental.

2. CIRCUITOS LÓGICOS

2.1 Introducción

Un circuito lógico es un dispositivo que tienen una o más entradas y exactamente una salida. En cada instante cada entrada tiene un valor, 0 o 1; estos datos son procesados por el circuito para dar un valor en su salida, 0 o 1.

Los valores 0 y 1 pueden representar ciertas situaciones físicas como, por ejemplo, un voltaje nulo y no nulo en un conductor.

V

1 1 1 1

0 0 0 0[pic 43]

t

Los circuitos lógicos se construyen a partir de ciertos circuitos elementales denominados compuertas lógicas, entre las cuales diferenciaremos:

∙ Compuertas lógicas básicas: OR, AND, NOT.

∙ Compuertas lógicas derivadas: NOR, NAND.

2.2 Compuerta OR

En una compuerta OR con entradas A y B, la salida Y resulta:

Y = A + B

donde la suma se define por la siguiente tabla:

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A

B

Y=A+B

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

La compuerta OR se representa del siguiente modo:

A