Problemas del método de Newton-Raphson y sus soluciones

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- Soluciones Para el Problema de Convergencia:

Como se indicó en la sección II.C. El método de Newton-Raphson es de convergencia cuadrática y puede presentar inconvenientes si la multiplicidad de la raíz (M) resulta mayor que uno sin embargo existe un método que nos permite solucionar este problema sin tener que renunciar al método al modificar el algoritmo de Newton-Raphson ligeramente.

- Método de Ralston-Rabinowitz: Este método es un derivado del método de Newton-Raphson, consiste en restaurar la convergencia cuadrática al modificar la ecuación (5) del método Newton-Raphson a:

[pic 8]

Como se puede ver se ha agregado M a la ecuación por lo que para poder realizar este método es necesario conocer la multiplicidad de la raíz, lo cual no siempre va a ser posible. En estos casos se puede modificar la ecuación haciendo g (p)=f (p)/f ´ (p):

[pic 9]

La principal desventaja en este caso será lo difícil que puede ser hallar g (p) y g ´ (p) si f (x) no es fácilmente derivable.

- CONCLUSIONES

En conclusión el método de Newton-Raphson resulta ser uno de los mejores métodos para encontrar el valor de las aproximaciones delas raíces de una función si se comprueba que esta tiene orden de convergencia cuadrática, sin embargo, en los casos en los que la función presente otro tipo de convergencia el cálculo de los ceros de la función puede resultar menos efectivo si se utiliza este método, para solucionar este problema sin renunciar al método se puede aplicar el método de Ralston-Rabinowitz el cual devuelve el orden de convergencia cuadrática al método.

RECONOCIMIENTOS

Agradecimientos al profesor Moisés Ramón Quintana Álvarez por compartir su conocimiento referente al método Newton-Raphson.

REFERENCIAS

[1] John H. Mathews y Kurtis D. Fink Métodos Numéricos con MatLab. 3ra. Ed., Madrid, España, 2000.

[2] http://es.slideshare.net/guscarcle/historia-metodo-de-newton

[3] http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Newton