Método de Newton-Raphson.
Enviado por klimbo3445 • 24 de Abril de 2018 • 1.896 Palabras (8 Páginas) • 388 Visitas
...
Determine la raíz positiva de usando el método de Newton-Raphson y un valor inicial [pic 38][pic 39]
Solución:
La fórmula de Newton-Raphson en este caso es:
[pic 40]
[pic 41]
Que se utiliza para calcular:
Iteración
x
0
0.5
1
51.65
2
46.485
3
41.8365
4
37.65285
5
33.887565
.
.
.
∞
1.000000
De esta forma, después de la primera predicción deficiente, la técnica converge a la raíz verdadera, 1, pero muy lentamente.
Además de la convergencia lenta debido a la naturaleza de la función, es posible que se presenten otras dificultades, como se ilustra en la figura 1.3.
Por ejemplo el inciso a) muestra el caso donde un punto de inflexión [esto es, ] ocurre en la vecindad de una raíz. [pic 42]
Se observa que las iteraciones que empiezan con divergen progresivamente de la raíz.[pic 43]
En el inciso b) se ilustra la tendencia del método de Newton-Raphson a oscilar alrededor de un mínimo o máximo local. Tales oscilaciones pueden persistir o alcanzar una pendiente cercana a cero, después de lo cual la solución se aleja del área de interés. En el inciso c) se muestra cómo un valor inicial cercano a una raíz salta a una posición varias raíces más lejos. Esta tendencia a alejarse del área de interés se debe a que se encuentran pendientes cercanas a cero. En efecto, una pendiente cero [ƒ′(x) = 0] es un verdadero desastre, ya que causa una división entre cero en la fórmula de Newton-Raphson.
En forma gráfica (inciso d), esto significa que la solución se dispara horizontalmente y jamás toca al eje x.
De manera que no hay un criterio general de convergencia para el método de Newton- Raphson. Su convergencia depende de la naturaleza de la función y de la exactitud del valor inicial. La única solución en estos casos es tener un valor inicial que sea “suficientemente” cercano a la raíz.
Cabe señalar, que para algunas funciones ningún valor inicial funcionará. Los buenos valores iniciales por lo común se predicen con un conocimiento del problema físico o mediante el uso de recursos alternativos, tales como las gráficas, que proporcionan mayor claridad en el comportamiento de la solución. Ante la falta de un criterio general de convergencia se sugiere el diseño de programas computacionales eficientes que reconozcan la convergencia lenta o la divergencia.
[pic 44]
[pic 45]
[pic 46]
Figura 1.3 Cuatro casos donde el método de Newton-Raphson exhibe una convergencia deficiente.
Ejemplo2
Utilice el método de Newton-Raphson para calcular la raíz de f(x)=e–x–x empleando como valor inicial x0 = 0.
Solución:
La primera derivada de la función es: que se sustituye, junto con la función original en nuestra fórmula para tener: [pic 48][pic 47]
[pic 49]
Empezando con un valor inicial , se aplica esta ecuación iterativa para calcular[pic 50]
[pic 51]
[pic 52]
[pic 53]
Error relativo porcentual
0
0
1
0.5
0.5
100.0000
2
0.566311003
0.066311
11.7093
3
0.567143165
0.00083216
0.1467
4
0.567143290
1.25E-07
0.0000
Así, el método converge rápidamente a la raíz verdadera.
Criterio de terminación y estimación de errores
Como en los otros métodos para localizar raíces, la ecuación:
[pic 54]
Se utiliza como un criterio de terminación. No obstante, el desarrollo del método con base en la serie de Taylor (cuadro 6.2), proporciona una comprensión teórica respecto a la velocidad de convergencia expresada por [pic 55]
De esta forma, el error debe ser proporcional al cuadrado del error anterior. En otras palabras, el número de cifras significativas de precisión aproximadamente se duplica en cada iteración. Dicho comportamiento se examina en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 3
Sabiendo que el método de Newton-Raphson es convergente en forma cuadrática. Es decir, el error es proporcional al cuadrado del error anterior:
[pic 56]
[pic 57]
Examine
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