NEWTON RHAPSON INFORME MÉTODOS NUMERICOS PARA LA COMPUTACION

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Esto es equivalente a linealizar la función, es decir, f se reemplaza por una recta tal que contiene al punto (x0, f (x0)) y cuya pendiente coincide con la derivada de la función en el punto, f'(x0). La nueva aproximación a la raíz, x1, se logra la intersección de la función lineal con el eje X de abscisas. Matemáticamente:

[pic 13]

[pic 14]

Ilustración de una iteración del método de Newton (la función f se demuestra en azul y la línea de la tangente está en rojo). Vemos que xn + 1 es una aproximación mejor que xn para la raíz x de la función f.[pic 15]

En la ilustración adjunta del método de Newton se puede ver que xn + 1 es una mejor aproximación que xn para el cero (x) de la función f.

Una forma alternativa de obtener el algoritmo es desarrollando la función f (x) en serie de Taylor, para un entorno del punto xn:

[pic 16]

Si se trunca el desarrollo a partir del término de grado 2, y evaluamos en xn + 1:

[pic 17]

Si además se acepta que xn + 1 tiende a la raíz, se ha de cumplir que f(xn + 1) = 0, luego, sustituyendo en la expresión anterior, obtenemos el algoritmo.

Finalmente, hay que indicar que el método de Newton-Raphson puede interpretarse como un método de iteración de punto fijo. Así, dada la ecuación f(x) = 0, se puede considerar el siguiente método de iteración de punto fijo:

[pic 18]

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Se escoge h (x) de manera que g'(r)=0 (r es la raíz buscada). Dado que g'(r) es:

[pic 19]

Entonces:

[pic 20]

Como h (x) no tiene que ser única, se escoge de la forma más sencilla:

[pic 21]

Por tanto, imponiendo subíndices:

[pic 22]

Expresión que coincide con la del algoritmo de Newton-Raphson

- Convergencia del Método

El orden de convergencia de este método es, por lo menos, cuadrático. Sin embargo, si la raíz buscada es de multiplicidad algebraica mayor a uno (y e, una raíz doble, triple), el método de Newton-Raphson pierde su convergencia cuadrática y pasa a ser lineal de constante asintótica de convergencia 1-1/m, con m la multiplicidad de la raíz.

Existen numerosas formas de evitar este problema, como pudieran ser los métodos de aceleración de la convergencia tipo Δ² de Aitken o el método de Steffensen. Derivados de Newton-Raphson destacan el método de Ralston-Rabinowitz, que restaura la convergencia cuadrática sin más que modificar el algoritmo a:

[pic 23]

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Evidentemente, este método exige conocer de antemano la multiplicidad de la raíz, lo cual no siempre es posible. Por ello también se puede modificar el algoritmo tomando una función auxiliar g(x) = f(x)/f'(x), resultando:

[pic 24]

Su principal desventaja en este caso sería lo costoso que pudiera ser hallar g(x) y g'(x) si f(x) no es fácilmente derivable.

Por otro lado, la convergencia del método se demuestra cuadrática para el caso más habitual en base a tratar el método como uno de punto fijo: si g'(r)=0, y g' '(r) es distinto de 0, entonces la convergencia es cuadrática. Sin embargo, está sujeto a las particularidades de estos métodos.

- Estimación del Error

Se puede demostrar que el método de Newton-Raphson tiene convergencia cuadrática: si α es raíz, entonces:

[pic 25]

para una cierta constante C. Esto significa que si en algún momento el error es menor o igual a 0,1, a cada nueva iteración doblamos (aproximadamente) el número de decimales exactos. En la práctica puede servir para hacer una estimación aproximada del error:

Error relativo entre dos aproximaciones sucesivas:

[pic 26]

Con lo cual se toma el error relativo como si la última aproximación fuera el valor exacto. Se detiene el proceso iterativo cuando este error relativo es aproximadamente menor que una cantidad fijada previamente.

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- Teorema de Convergencia Local del Método de Newton

Sea [pic 27]. Si [pic 28], [pic 29]y [pic 30], entonces existe un r>0 tal que si [pic 31], entonces la sucesión xn con [pic 32]verifica que:

[pic 33]para todo n y xn tiende a p cuando n tiende a infinito.

Si además [pic 34], entonces la convergencia es cuadrática.

Ejemplo

Consideremos el problema de encontrar un número positivo x tal que cos(x) = x3. Podríamos tratar de encontrar el cero de f(x) = cos(x) - x3.

Sabemos que f '(x) = -sin(x) - 3x2. Ya que cos(x) ≤ 1 para todo x y x3 > 1 para x>1, deducimos que nuestro cero está entre 0 y 1. Comenzaremos probando con el valor inicial x0 = 0,5

[pic 35]

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CONCLUSIONES Y ANEXOS

- CON LOS DATOS ADQUIRIDOS LLEGAMOS A LAS SIGUIENTES CONCLUSIONES:

- Nótese que de todas formas que el método de Newton-Raphson es un método abierto, en donde la convergencia no está garantizada por un teorema de convergencia global como podría estarlo en los métodos de falsa posición o de bisección.

- Es así ,que es necesario partir de una aproximación inicial próxima a la raíz buscada para que el método converja