Pérdida de la convergencia cuadrática en el método de Newton-Raphson y sus soluciones.

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Pero si por el contrario, p se define como una raíz múltiple (que se presenta más de una vez, por ejemplo, raíces dobles), es decir que M>1, se produce que el error en cada iteración será solo una fracción del error de la iteración anterior. En este último caso el método de Newton-Raphson tenderá a converger hacia la raíz doble dando como resultado una reducción en su velocidad por lo que la convergencia será lineal.

- Solución para el problema de la convergencia

Se quiere buscar una solución al problema de convergencia del método de Newton-Raphson pero que esta no obligue a renunciar a este. Afortunadamente esta solución sí existe, y está dada gracias al denominado método de Ralston-Rabinowitz.

El método de Ralston-Rabinowitz es un derivado del método de Newton-Raphson que tiene como función restaurar la convergencia cuadrática perdida a través de una pequeña modificación del algoritmo original, definiendo la ecuación como:

[pic 16]

Se puede observar que este método exige que se conozca la multiplicidad de la raíz (representada por M). Sin embargo, esto en algunas ocasiones no es posible por lo que se puede realizar una modificación tomando una función auxiliar , dando como resultado:[pic 17]

[pic 18]

El principal inconveniente de esta modificación es la dificultad que se puede presentar para hallar g(x) y g’(x) en el caso que f(x) no sea fácilmente derivable.

- CONCLUSIONES

Se puede concluir que el método de Newton-Raphson es uno de los métodos más populares para encontrar las aproximaciones de las raíces de una función debido a su facilidad y velocidad gracias a su convergencia cuadrática en muchos casos. Sin embargo, existen ocasiones en las que la convergencia se convierte en lineal como resultado de la existencia de una raíz múltiple en una función, por lo que es necesario acudir a un derivado del método original el cual nos ayude en la restauración de la convergencia cuadrática sin la necesidad de renunciar a Newton-Raphson, tal y como lo es el método de Ralston-Rabinowitz.

RECONOCIMIENTOS

Se le hace un merecido reconocimiento al profesor Moises Quintana Alvarez quien con su sabiduría, ganas de enseñar y su magnífica explicación del método de Newton-Raphson fue clave en la realización de este escrito.

REFERENCIAS

[1] A. Robles y J. García, Métodos Numéricos en ingeniería: prácticas con Matlab, 1ra ed., Ed. Oviedo, España, 2006.

[2] Curso de métodos numéricos. [en línea]. Disponible en: http://www.ehu.eus/pegonzalez/I.Teleco/Apuntes/tema2.pdf

[3] Método de Newton Raphson. [en línea]. Disponible en: http://metodosnew.blogspot.com.co/2013/02/metodo-de-newton-raphson.html