Para los siguientes ejercicios, determine una función generatriz e indique el coeficiente de la función necesaria para resolver el problema. (Proporcione las formas polinomial y de serie de potencias de la función generatriz, cuando sea apropiado.).

...

[pic 5][pic 6]

es la función generatriz de la sucesión dada.

¿De donde viene esta idea?

Ejemplo 9.4 Para cualquier n [pic 7][pic 8]Z+

[pic 9]

De modo que (1 + x)n es la función generatriz de la sucesión

[pic 10]

Ejemplo 9.5

a) Para n ∈ Z+ [pic 11]

Así [pic 12]. y [pic 13] es la función generatriz para la sucesión 1,1,1,1,….,0,0,0,…. Donde los primeros n+1 términos son 1.

b) Si extendemos la idea de la parte (a), encontramos que

1 = (1–x) (1+x+x2+x3+x4+….),

así [pic 14] es la función generatriz para la sucesión 1,1,1,1,... [pic 15]es válida para todos los reales x tales que | x | serie geométrica

1 + x + x2 + …. converge. Sin embargo, en nuestro trabajo con funciones generatrices nos ocuparemos más de los coeficientes de las potencias de x que de la convergencia. Esto no quiere decir que el concepto de convergencia no sea importante, sino que no lo necesitamos para el material que estudiaremos en este capítulo.]

c) Con [pic 16] tomando la derivada de cada lado obtenemos:

[pic 17]

[pic 18]

En consecuencia [pic 19] es la función generatriz para la sucesión 1,2,3,4,…., mientras que [pic 20]es la función generatriz para la sucesión 0,1,2,3,4,….

d) A partir de (c), [pic 21]o [pic 22] Por lo tanto, [pic 23] genera l2, 22, 32,.. , y [pic 24] genera 02, l2, 22, 32,. . .

Ejemplo 9.6 a) De la parte (b) del ejemplo 9.5 sabemos que la función generatriz para la sucesión 1,1,1,1…..es f(x) = 1/(1 - x). Por lo tanto, la función

g(x) =f(x) – x2 = [pic 25]

es la función generatriz para la sucesión 1, 1, O, 1, 1, 1,..., mientras que la función

h(x) =f(x) + 2x3 =[pic 26]

genera la sucesión 1. 1, 1,3, 1, 1,...

b) ¿Podemos usar los resultados del ejemplo 9.5 para encontrar una función generatriz de la sucesión 0, 2, 6, 12, 20, 30, 42 ?

Aquí observamos que

a0 = 0 = 02 + 0

a1 = 2 = 12+1

a2 = 6 = 22 + 2

a3 = 12 = 32 + 3

a4 = 20 = 42 + 4

En general, tenemos an = n2 + n, para todo n ≥ 0.

Usando los resultados de las partes (c) y (d) del ejemplo 9.5 vemos

[pic 27]

[pic 28]

es la función generatriz de la sucesión dada. (Aquí la solución depende de nuestra habilidad para reconocer cada an como la suma de n2 y n. Si no vemos esto, no podremos responder la pregunta dada. En consecuencia, en el ejemplo 10.5 del siguiente capítulo analizaremos otra técnica que nos ayude a reconocer la fórmula para an.)

Para todo n [pic 29][pic 30] Z+. el teorema del binomio señala que [pic 31]

Queremos extender esta idea a los casos en que (a) n

Si n,r ∈[pic 32] Z+ y n ≥ r > 0, tenemos

[pic 33]

Si n ∈[pic 34] R, usamos [pic 35] como la definición de [pic 36][pic 37].

Entonces, por ejemplo, si n ∈[pic 38] Z+, tenemos

[pic 39]

Finalmente para cualquier número real n, definimos [pic 40] 2 – 2

[pic 41] teorema del binomio del capítulo 1 y muestra que es (1 + x)–n la función generatriz de la sucesión [pic 42] y = –2x, usamos el resultado del ejemplo 9.7 para escribir (1 – 2x)–7 = (1 + y)-7 =[pic 43] En consecuencia, el coeficiente de x5 es [pic 44] [pic 45]= + nx + n(n – 1)x2/2! + (n)(n – 1)(n – 2)x3/3! + …..[pic 46] Por lo tanto (1 + 3x) [pic 47] [pic 48] )( –4)/2!; (–l)( –4)( –7)/3!; …(–l)( –4)( –7)…( –3r+2)/r! Ejemplo 9.10 /( 1 -x)4. Por lo tanto, el coeficiente buscado es el de x7 en (1 -x)-4, es decir, [pic 49][pic 50] (-l)7 = (-1)7 [pic 51][pic 52] (-1)7 = [pic 53][pic 54] = 120.En general, para n [pic 55] Z+. el coeficiente de xn en f(x) es 0, si 0 ≤ n ≤ 7. Para todo n ≥ 8, el coeficiente de xn en f(x) es el coeficiente de xn-8 en (1 – x) –4, que es [pic 56][pic 57].m,n [pic 58]Z+; a [pic 59] R, [pic 60][pic 61][pic 62]Entonces donde para cada k positivo [pic 63] n distintos objetos, la serie geométrica 1 + x + x2 + x3 + x4 … representa las posibles elecciones de ese objeto (es decir ninguno, uno, dos,...). Considerando todos los n distintos objetos, la función generatriz esx) = (1 + x + x2 + x3 +….)n, la respuesta requerida es el coeficiente de xr en f(x). Ahora bien, por la identidad 7 de la tabla 9.2 obtenemos[pic 64] [pic 65][pic 66]e xr es [pic 67]el resultado que encontramos en el capítulo 1 = x12( 1 + x + x2 + … + x5)4 = x12(( 1 – x6)/( 1 – x))4, la respuesta es el coeficiente de x12 en1– x6)4(1 – x)–4= [pic 68]es [pic 69] 2n = [(1 + x)n]2, al comparar los coeficientes (de potencias similares de x), el coeficiente de xn en (1 + x)2n, que es [pic 70][pic 71]debe ser igual al coeficiente de. xn en [pic 72] y esto es [pic 73][pic 74]. como [pic 75][pic 76], para todo 0 ≤ r ≤ n, obtenemos el resultado. + …] para cualquier a ≠ 0, podemos resolver este problema encontrando el coeficiente de x8 en l/(x - 3)(x - 2)2 expresado como + … ](l/4).[pic 77]. Una técnica alternativa usa la descomposición en fracciones simple 1= A(x-2)2 +B(x-2)(x-3)+ C(x-3)2, x y 1, respectivamente), vemos que A + B = 0, -4A + 5B + C = 0 y 4A + 6B-3C=l. Al resolver estas ecuaciones obtenemos A = 1 ,B = –1 y C = –1. Por lo tanto, [pic 78] [pic 79] x 8 es (–1/3)(l/3)8+ (l/2)(l/2)8 + (–1/4) [pic 80][pic 81](–l/2)8 = –[(1/3)9 + 7(1/2)'°]2e c1