Método de Newton.

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La ecuación de la recta que pasa por el punto y de pendiente es: De donde, haciendo y despejando x se obtiene la ecuación de Newton Raphson:[pic 12][pic 13][pic 14][pic 15]

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Figura 2. Aproximaciones.

Demostración.

Sea el valor inicial de las repeticiones y al aplicar funciones trigonométricas al ángulo α (fig. 2) se tiene que , a partir de este planteamiento se dice que y despejando se tendría la fórmula de Newton. La pendiente en esta dada por y considerando lo anterior, tenemos que . También podemos obtener la fórmula al tener en cuenta la ecuación de la línea tangente en la cual está dada por y su primera aproximación es , esta es obtenida como raíz de (1), así es un punto sobre la ecuación anterior, reemplazando tenemos despejamos y por construcción similar obtenemos ; es un valor para x conocido actualmente, representa el valor de la función evaluada en y es la derivada evaluada en , representa el próximo valor para x la cual se trata de encontrar como raíz al aplicar el modelo. [pic 18][pic 19][pic 20][pic 21][pic 22][pic 23][pic 24][pic 25][pic 26][pic 27][pic 28][pic 29][pic 30][pic 31][pic 32][pic 33][pic 34][pic 35][pic 36][pic 37]

Básicamente, la derivada representa , sin embargo el término representa un valor de [pic 38][pic 39][pic 40][pic 41][pic 42]

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Ejercicios.

Cálculo de una variable, Stewart, 6ta Edición, Sección 4,8.

8) Use el método de Newton con la aproximación inicial dada para hallar , la tercera aproximación para la raíz de la ecuación dada. [pic 44][pic 45]

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9) Use el método de Newton con la aproximación lineal para hallar , la segunda aproximación a la raíz de la ecuación . Explique cómo funciona el método dibujando en primer lugar la función y su recta tangente en (-1,1).[pic 54][pic 55][pic 56]

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Figura 3. Grafica Ejercicio 9.

El método de Newton sigue la tangente en el punto (-1,1) hasta su intersección con el eje x (-1,25; 0), dando la segunda aproximación .[pic 64]

4. Conclusiones.

Por medio de la investigación realizada se aplicó el método de Newton, el cual nos permitió analizar y desarrollar el mismo desde su forma más sencilla, ayudándonos a calcular las aproximaciones raíces de funciones cuyo resultado no podían ser deducido fácilmente.

El método de Newton abarca conocimientos fundamentales que se han ido practicando diariamente en clases, lo cual ayudó a una mejor comprensión y adaptación al tema propuesto, además es utilizado en entornos de la vida cotidiana dando un enfoque llamativo al tema.

Referencias

- Thomas, G. (2006). Cálculo una Variable. México: PEARSON EDUCACION.

- Stewart, J. Cálculo una Variable. Mexico: CENCAGE Learning.

- Tomeu Barceló. (2005). Método de Newton para f(x)=0. 18/12/2015, de Universidad Autónoma de Madrid Sitio web: https://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/barcelo/cnumerico/recursos/newton.html

Criterio

Excelente

8.6-10

Bueno

6-8,5

Regular

menor a 6

Puntaje

Presentación

10%

Cumple con:

la estructura del trabajo según lo solicitado

Resumen claro y conciso

Formato y estilo

Cumple con:

La estructura del trabajo según lo solicitado.

Resumen no tan claro claro y conciso pero se entiende.

Formato y estilo respeta más de un 70%.

No cumple con:

La estructura del trabajo según lo solicitado.

Resumen no entendible

Formato y estilo lo respeta en menos de 70%

Introducción

10%

La introducción incluye el propósito de manera clara, exposición general del tema, objetivos claros y subdivisiones principales.

La introducción incluye el propósito, exposición general del tema y subdivisiones principales. Los objetivos están un poco confusos.

La introducción incluye el propósito. No se presenta la exposición general del tema o las subdivisiones principales. El propósito, el tema y los objetivos requieren clarificación o no se presentan de forma objetiva.

Desarrollo o cuerpo central

45%

Todo el contenido que se presenta tiene relación directa con el tema.

Desarrolla de manera eficaz y coherente el tema solicitado enriqueciéndolo con ideas propias.

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