Series y suceciones.

...

Utilizaremos la formula an+b, en la que n es un numero de termino deseado, a es la diferencia entre dos términos, y b se encuentra en el primer termino.

Datos formula operación sustitución

a=3 an+b 3(1)+b=9 3n+6

n=1 3+b=9 3(1)+6=9

b=? b=9-3

b=6

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3) - 3, 1, 5, 9, 13, 17...

Utilizaremos la formula an+b, en la que n es un numero de termino deseado, a es la diferencia entre dos términos, y b se encuentra en el primer termino.

Datos formula operación sustitución

a=4 an+b 4(1)+b=-3 4n-7

n=1 4+b=-3

b= ? b=-3-4

b= -7

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*Serie aritmética:

Se suman todos los términos anteriores al enésimo término ∑. Pero antes de hacer la sumatoria usted deberá encontrar la fórmula de la sucesión de la que se deriva la serie.

a) utilizaremos el ejemplo del inciso 1 ( 5+7+9+11+13+15+…) de las sucesiones aritméticas, en el que la fórmula general de 5, 7, 9, 11, 13, 15... Es 2n+3

Si queremos encontrar el enésimo término (el término que deseemos) al que le daremos en este caso el valor de el onceavo término: 2(11)+3= 25, y ¡listo! ya fijamos nuestra meta, ahora habrá que realizar la tarea de sumar todos los términos anteriores:

término

operación

1

2(1)+3= 5

2

2(2)+3=7

3

2(3)+3=9

4

2(4)+3=11

5

2(5)+3=13

6

2(6)+3=15

7

2(7)+3=17

8

2(8)+3=19

9

2(9)+3=21

10

2(10)+3=23

11

2(11)+3=25

total

Una alternativa a sumar todos los términos anteriores es utilizar la fórmula de n/2(a1+ an ),donde n es el termino deseado dividido entre 2, multiplicando el resultado de sumar el primer termino más el ultimo termino, respectivamente.

Datos fórmula operación

n= 11 n/2(a1+ an ) 11/2(5+25)=5.5 (30)=165

a1= 5 ∑ =165

an= 25

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b) utilizaremos el inciso 2 de las sucesiones aritméticas en el que la fórmula general de 9, 12, 15, 18, 21, 24...es 3n+6, si queremos encontrar el enésimo término ( el término queramos) al que le daremos el valor del quinceavo término: 3(15)+6= 51. Para conseguir la sumatoria utilizaremos la fórmula n/2(a1+ an ):

Datos fórmula operación

n=15 n/2(a1+ an ) 15/2(9+51)= 7.5 (60) =

a1=9 ∑= 450

an=51

c) utilizaremos el inciso 3 de las sucesiones aritméticas en el que la fórmula general de - 3, 1, 5, 9, 13, 17… es 4n-7, si queremos encontrar el enésimo término (el término que queramos) al que le daremos el valor del 257 término: 4(257)-7= 1021. Para conseguir la sumatoria utilizaremos la fórmula n/2(a1+ an ):

Datos fórmula operación

n=257 n/2(a1+ an ) 257/2(-3+1021)= 128.5 (1018) = 130813

a1=-3 ∑= 130813

an=1021

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¿Cómo se calcula el enésimo de término de una sucesión y de una serie geométrica?

*Sucesión geométrica

1) 6, 12, 24, 48, 96… utilizaremos la formula a*r^n-1, en donde r es el cociente entre un término y el anterior, n es el número del término deseado, y a se obtiene del primer término:

Datos formula operación sustitución

r=12/6=2 a(r^n-1) a(2^1-1)=6 6(2^n-1)

n=1 a(2^0)=6

a= ? a(1)=6

a=6

2) 7, 49, 343, 2401, 16807… utilizaremos la formula a*r^n-1, en donde r es el cociente entre un término y el anterior, n es el número del término deseado, y a se obtiene del primer término:

Datos formula operación sustitución

r=49/7=7 a(r^n-1) a(7^1-1)=7 7(7^n-1)

n=1 a(7^0)=7

a= ? a(1)=7

a=7

3) 5, 25, 125, 625, 3125… utilizaremos la formula a*r^n-1, en donde r es el cociente entre un término y el anterior, n es el número del término deseado, y a se obtiene del primer término:

Datos formula operación sustitución

r= 25/5= 5 a(r^n-1) a(5^1-1)=5 5(5^n-1)

n=1 a(5^0)=5

a= ? a(1)=5

a=5