APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS PARA DETERMINAR LA TASA DE CAMBIO EN LAS VENTAS DE REPUESTOS

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MARCO TEÓRICO

Monoblock de un motor: Es la pieza más grande del motor y constituye su cuerpo básico. Está fabricada en fundición de hierro gris, resistente a la torsión y las presiones; sin poros y con una dilatación y contracción uniforme por efectos de la temperatura.

[pic 5]

Derivada de una función

La derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.

Tal como lo afirma Soo T. Tan (2012) tanto el cálculo diferencial como el integral se desarrollaron en el siglo XVII a partir de cuatro problemas matemáticos:

- El problema de hallar la recta tangente a una función en cualquier punto:

Interpretación geométrica de la derivada como la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto coordenado .[pic 6][pic 7]

- El problema de hallar la velocidad y aceleración instantánea de una partícula:

Interpretación de la derivada como una tasa o razón instantánea de variación, con aplicaciones a la mecánica del movimiento rectilíneo, a la economía como variación marginal, a la ciencia y la ingeniería como tasa de cambio instantáneo de funciones.

- El problema de hallar los máximos y mínimos de funciones:

Determinación de la utilidad máxima, costo mínimo, máxima resistencia, máxima distancia, voltaje máximo, forma óptima, tamaño óptimo, etc.

- El problema de hallar el área de una región limitada por una función o un conjunto de funciones.

Estos cuatro problemas son manifestaciones de la misma idea básica, el buen sentido matemático sugiere que se estudie este concepto independientemente de sus diversas aplicaciones con el nombre neutral de derivada como una de las palabras claves del Cálculo además. [pic 8]

Interpretación geométrica de la derivada

Definición de la recta tangente en un punto de [pic 9][pic 10]

En la gráfica, la pendiente de la recta secante es: [pic 11]

[pic 13][pic 12]

[pic 14]

Donde,

= (delta ) incremento en .[pic 15][pic 16][pic 17]

= (delta ) incremento en .[pic 18][pic 19][pic 20]

= razón de cambio.[pic 21]

, pendiente de la recta secante (es la tangente del ángulo entre el eje y la recta ).[pic 22][pic 23][pic 24][pic 25]

Si la recta secante coincide con la recta tangente en el punto (c, ), entonces la pendiente de será el límite de .[pic 26][pic 27][pic 28][pic 29][pic 30][pic 31]

Definición de derivada

Sea una función, la derivada de una función es otra función (léase “ prima”) cuyo valor en cualquier número es:[pic 32][pic 33][pic 34][pic 35][pic 36]

[pic 37]

Si este límite existe, decimos que es derivable en .[pic 38][pic 39]

Determinar una derivada recibe el nombre de derivación.

La parte del Cálculo asociada con la derivada recibe el nombre de Cálculo Diferencial.

Regla de los 4 pasos para hallar la derivada:

Sea una función, entonces:[pic 40]

- [pic 41]

- [pic 42]

- (razón de cambio)[pic 43]

- (derivada de la función)[pic 44]

Soo T. Tan (2012): afirma que la derivada de una función provee una herramienta para medir la tasa de cambio de una cantidad respecto otra. Tomando este concepto, en nuestro trabajo aplicaremos la derivada y alguna de sus propiedades para solucionar la problemática de la tienda de repuestos automotrices.

SOLUCIÓN DEL PROBLEMA

Como ya dijimos en un inicio, la empresa desea determinar la tasa de cambio en las ventas de repuestos automotrices (monoblocks) en la empresa “Auto Parts S.A.C” a los 3 años de haberse inaugurado.

Para esto, la venta de monoblocks (en millones de soles) en una alta demanda en t años desde su inauguración está dada por la siguiente función:

[pic 45]

Como ya sabemos, la tasa a la que las ventas cambiaran en el momento t está dada por S’(t). Al utilizar la regla del cociente, obtenemos.

[pic 46]

= = 5[pic 51][pic 47][pic 48][pic 49][pic 50]

[pic 52]

= 5 [pic 53][pic 54]

[pic 55]

= [pic 56][pic 57]

= [pic 58][pic 59]

Para calcular la tasa en las ventas de los monoblocks durante el año de inauguración de la tienda de repuestos automotrices, reemplazaremos t = 0

F’(0) = = 5[pic 60]

Interpretación:

Ha aumentado a una tasa de s/. 5 millones por año durante el primer año de inauguración.

A los 3 años (t = 3) de haberse inaugurado la tienda de repuestos automotrices las ventas cambian a la tasa de:

F’(0) = [pic 61]

F’(3) = = -0,4[pic 62]