La derivada como razón de cambio instantánea.
Enviado por Sara • 5 de Febrero de 2018 • 1.204 Palabras (5 Páginas) • 438 Visitas
...
Además, el estudio de la lluvia tiene importantes aplicaciones:
Recordemos que un tercio de la economía (agricultura, aviación, etc.) está influida directa o indirectamente por la capacidad de predecir la lluvia de manera fiable, y esto representa mucho dinero. Los modelos de predicción de tiempo atmosférico dependen de simplificaciones sobre cómo las gotas de lluvia crecen o se mueven, por lo que un mejor entendimiento de este tipo de procesos, en los que las gotas interaccionan entre sí, puede mejorar los modelos y hacer que estos sean más fiables. [5]
Supongamos una gota de lluvia, se sabe que la lluvia cae a 2000 metros de la superficie[6], y consideremos la fuerza de gravedad en sentido negativo
[pic 88]
Integrando
[pic 89]
Entonces,
[pic 90]
En este modelo la velocidad de la gota de lluvia es 0 justo al desprenderse de la nube, es decir, . Por consiguiente,[pic 91]
[pic 92]
[pic 93]
La velocidad de la gota de lluvia con función del tiempo es
[pic 94]
Una gota de agua de lluvia cae a través de una nube de pequeñas gotitas. A medida que cae, incrementa su masa al chocar con las pequeñas gotitas.
Por consiguiente se tomara la masa como una función del tiempo [pic 95]
Y la rapidez de crecimiento será [pic 96]
[pic 97]
[pic 98]
[pic 99]
[pic 100]
Factorizamos el lado izquierdo
[pic 101]
Se cancelan las variables de ambos lados[pic 102]
[pic 103]
Despejamos nuestra variable para obtener una ecuación diferencial separable[pic 104]
[pic 105]
Por lo tanto, es una ecuación separable, ya que tenemos de un lado la derivada y del otro una multiplicación que separa las variables, colocamos en el lado izquierdo la variable y en el lado derecho la variable .[pic 106][pic 107]
[pic 108]
Integramos de ambos lados nuestra ecuación
[pic 109]
[pic 110]
[pic 111]
Simplificamos, la ecuación
[pic 112]
Por lo tanto utilizamos las leyes de logaritmo, para simplificar la ecuación
[pic 113]
[pic 114]
[pic 115]
De tal manera tendremos, nuestra[pic 116]
[pic 117]
[pic 118]
[pic 119]
Una vez tenido nuestra condición, la sustituimos
[pic 120]
Despejamos, nuestra variable [pic 121]
[pic 122]
[pic 123]
[pic 124]
[pic 125]
[pic 126]
[pic 127]
[pic 128]
[pic 129]
[pic 130]
[pic 131]
[pic 132]
Supongamos que K= 1.21
[pic 133]
[pic 134]
[pic 135]
[pic 136]
[pic 137]
[pic 138]
---------------------------------------------------------------
[pic 139]
Se integra la aceleración para obtener la velocidad
[pic 140]
[pic 141]
[pic 142]
Esta integral indefinida requiere una constante de integración. Pero en este caso en física, la constante de integración tiene un significado definido, en la cual se determina como condición inicial.
[pic 143]
Nuestra condición inicial será en se tiene velocidad inicial, es decir[pic 144]
[pic 145]
Porque solo conocemos . Así mismo tomamos nuestra función y sustituimos [pic 146]
[pic 147]
[pic 148]
[pic 149]
Una vez teniendo nuestra condición, la sustituimos en nuestra función
[pic 150]
Así obtenemos la fusión de velocidad, y para regresar a nuestra función de aceleración aplicamos la derivada.
Bibliografía
Tippens Paul, Física. Conceptos y aplicaciones, Séptima Edición, Mc Graw Hill, 2007.
Stewart James, Calculo de una variable, trascedentes tempranas, Sexta Edición, Cengage Learning.
Neo Fronteras: Portal de Ciencias y Tecnología, Sobre la velocidad de las gotas de lluvia, Meteorología, junio
...