APORTACIONES MATEMÁTICAS TEXTOS19

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La ciencia actualmente

[pic 6][pic 7]En las disciplinas científicas, la computación numérica es esencial. Los físicos usan computadoras para resolver complicadas ecuaciones que modelan todo: desde la expansión del universo hasta la estructura del átomo, y para probar sus teorías contra datos experimentales. Los químicos y biólogos los usan para determinar la estructura molecular de las proteínas. Los investigadores médicos usan computadoras para técnicas de manejo de imágenes y para el análisis estadístico de observaciones experimentales y clínicas. Los científicos que estudian la atmósfera usan el cálculo numérico para procesar enormes cantidades de datos y para resolver ecuaciones que predicen el clima. Los ingenieros electrónicos diseñan computadoras aún más rápidas, más pequeñas y más confiables, mediante la simulación numérica de circuitos electrónicos. El diseño moderno de los aeroplanos y naves espaciales depende fuertemente de la modelación por computadora. Irónicamente, el trágico accidente del Challenger en enero de 1986 se debió más a errores políticos que científicos. Desde un punto de vista científico, la reentrada en la atmósfera del transportador espacial era un procedimiento mucho más delicado y difícil que el despegue, y muchos nerviosos científicos estaban gozosos y aliviados al ver que sus cálculos habían trabajado tan bien la primera vez que el vehículo espacial reingresó a la atmósfera y aterrizó.

En resumen, todos los campos de la ciencia y la ingeniería se sustentan fuertemente en la computación numérica. Las dos ramas tradicionales de la ciencia son la teórica y la experimental. Ahora se menciona a menudo a la ciencia de la Computación como una tercera rama, la cual tiene un nivel esencialmente igual, y tal vez hasta eclipsa a sus dos hermanas mayores. La disponibilidad de técnicas computacionales grandemente mejoradas y de computadoras inmensamente más rápidas permite la solución rutinaria de complicados problemas, que habrían parecido imposibles hace sólo una generación.

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Capítulo 2

Los números reales

[pic 8]Los números reales pueden representarse convenientemente mediante una recta. Cada punto de la recta corresponde a un número real, pero sólo unos pocos están señalados en la Figura 2.1. La recta se extiende hacia el infinito en ambas direcciones, hacia y —00, los cuales no son en sí números en el sentido convencional, pero están incluidos en los números reales extendidos. Los enteros son los números 0, 1, —1, 2, —2, 3, —3, Se dice que hay un número infinito pero numerable de enteros; con esto se quiere decir que cada entero aparecería eventualmente en la lista si contáramos por tiempo suficiente, aun cuando nunca se podrá contarlos todos. Los números racionales son aquéllos que consisten en el cociente de dos enteros, como 1/2, 2/3, 6/3; algunos de éstos, por ejemplo 6/3, son enteros. Para ver que el número de racionales es contable, imagíneselos listados en un arreglo bidimensional infinito como en la Figura 2.2. Enumerar la primera fila, luego la segunda y así sucesivamente, no funciona, dado que la primera fila nunca termina. Más bien, generemos una lista de todos los números racionales diagonal por diagonal: primero 0, luego ±1/1; luego ±2/1, ±1/2; después ±3/1, ±2/2, ±1/3; seguido por ±4/1, ±3/2, ±2/3, ±1/4; etc. De esta manera, se genera eventualmente cada número racional (incluyendo los enteros). De hecho, cada número racional se genera muchas veces (ej., 1/2 y 2/4 son el mismo número). Sin embargo, cada número racional sí tiene una única representación reducida, a la cual [pic 9]se llega por simplificación de cualquier factor común del numerador y denominador[pic 10]

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—4 —3 —2 —1 0 1 2 3 4

Figura 2.1: La recta real

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6 M.L. OVERTON: CÓMPUTO NUMÉRICO CON ARITMÉTICA IEEE

1

2

3

4

1

2

3

4

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Figura 2.2: Los números racionales no nulos

(así 2/4 se reduce a 1/2).

Los números irracionales son los reales que no son racionales. Ejemplos familiares de números irracionales son , T y e. Los números v'Q y Ir han sido estudiados por más de dos mil años. El número e, mencionado en la cita de HAL en la página x, es el límite de

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cuando n tiende a 00. Las investigaciones que llevaron a la definición de e comenzaron en el siglo XVII. Cada número irracional puede definirse como el límite de una secuencia de números racionales, pero no hay manera de listar todos los irracionales—se dice que el conjunto de los números irracionales es no numerable.

Sistemas numéricos posicionales

La idea de representar números usando potencias de 10 se empleó en tiempos antiguos, por ejemplo por los hebreos, los griegos, los romanos y los chinos, pero no así el sistema posicional que ahora usamos. Los romanos usaron un sistema donde cada potencia de 10 requería un símbolo diferente: X para IO, C para 100 102 M para 1000 — 103 etc., y se usaban repeticiones, junto con símbolos adicionales para agrupaciones quinarias, para indicar cuántas de cada potencia de 10 estaban presentes en un número. Por ejemplo, MDCCCCLXXXV significa 1000 + 500 + 400+ 50 + 30 + 5 — — 1985. Las familiares abreviaturas tales como IV para 4 no eran usadas por los romanos. El sistema chino, aún en uso, es similar, excepto que, en lugar de repeticiones, se utilizan los símbolos que representan los números 1 a 9 para modificar cada potencia de 10. Estos sistemas permitían la fácil transcripción de los números a un ábaco para calcular,