Algebra - Relaciones

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[pic 110] y [pic 111].

Es decir cuando ningún elemento de [pic 112] es estrictamente mayor que [pic 113].

[pic 114]puede no tener minimales, o tener uno, o tener varios diferentes; lo mismo ocurre con los maximales.

Si [pic 115]posee un mínimo, entonces [pic 116]posee un único minimal, que es justamente el mínimo.

Si [pic 117]posee un máximo, entonces [pic 118]posee un único maximal, que es justamente el máximo.

Definición: Si [pic 119]es un conjunto ordenado y [pic 120]. Se dice que un elemento [pic 121]de [pic 122]es una cota inferior de [pic 123]cuando [pic 124]. Se dice que un elemento [pic 125]de [pic 126]es una cota superior de [pic 127]cuando [pic 128].

Luego entonces un mínimo de [pic 129]es siempre una cota inferior, mientras que una cota inferior de [pic 130] puede (si no pertenece a [pic 131]) no ser un mínimo de [pic 132]. Incluso es posible que [pic 133]posea una o varias cotas inferiores sin que posea mínimo. Esta misma situación sucede análogamente entre las cotas superiores y el máximo.

Si [pic 134]admite alguna cota inferior, se dice que [pic 135]está acotado inferiormente, si [pic 136]admite alguna cota superior, se dice que [pic 137]está acotado superiormente. [pic 138]está acotado cuando lo está superior e inferiormente.

Definición: Sea [pic 139]un conjunto ordenado y [pic 140]. Supóngase que [pic 141]esta acotado inferiormente y represéntese por [pic 142] el subconjunto de [pic 143]formado por las cotas inferiores de [pic 144]. Si el conjunto [pic 145] admite un máximo [pic 146], se dice que [pic 147]es el extremo inferior (o simplemente el inferior) de [pic 148]. Si existe el extremo inferior de [pic 149]está caracterizado por las siguientes propiedades:

[pic 150]

[pic 151].

La primera expresa que [pic 152]es una cota inferior de [pic 153]y la segunda que [pic 154]es el máximo de las cotas inferiores de [pic 155]

Observe que si existe el extremo inferior de [pic 156], como es un máximo (del conjunto [pic 157]), será necesariamente único.

Si [pic 158]admite un extremo inferior [pic 159] y [pic 160], entonces [pic 161]es el mínimo de [pic 162]. Recíprocamente, si [pic 163]posee un mínimo [pic 164], entonces es el extremo inferior de [pic 165].

Definición: Ahora supóngase que [pic 166]esta acotado superiormente; represéntese por [pic 167] el conjunto de las cotas superiores de [pic 168]. Si el conjunto[pic 169] admite un mínimo [pic 170], se dice que [pic 171] es el extremo superior (o simplemente el superior) de [pic 172]. El superior [pic 173]de [pic 174], si existe, esta caracterizado por las propiedades siguientes:

[pic 175]

[pic 176].

Si [pic 177]admite un extremo superior [pic 178] y [pic 179], entonces [pic 180]es el máximo de [pic 181]. Recíprocamente, si [pic 182]posee un máximo [pic 183], entonces es el extremo superior de [pic 184].

Definición: Sea [pic 185]un conjunto ordenado. Se dice que [pic 186]es un orden total, o que [pic 187]es un conjunto totalmente ordenado, cuando:

[pic 188].

En un conjunto totalmente ordenado, la negación de la proposición

[pic 189]

(que se escribe a veces [pic 190][pic 191][pic 192]) coincide con la proposición

[pic 193]>[pic 194].

Si [pic 195] es un orden total sobre [pic 196]y [pic 197], entonces el orden inducido en [pic 198] por [pic 199] es también un orden total.

En un conjunto totalmente ordenado, los minimales y maximales de un subconjunto (si existen) son únicos y coinciden con el mínimo y el máximo del subconjunto.

Definición: Si [pic 200]es un conjunto ordenado. Se dice que [pic 201] es un buen orden, o que [pic 202]es un conjunto bien ordenado, cuando cada subconjunto [pic 203] de [pic 204], no vacío, admite un mínimo.

Todo conjunto bien ordenado está totalmente ordenado.

1.3.2. RELACIONES DE EQUIVALENCIA

Definición: Una relación [pic 205]sobre un conjunto [pic 206]es una relación de equivalencia cuando es reflexiva, simétrica y transitiva.

Generalmente las relaciones de equivalencia se denotan empleando símbolos del tipo:

[pic 207][pic 208]

Si [pic 209] es una relación de equivalencia sobre [pic 210]. Cuando [pic 211][pic 212][pic 213] (o sea, [pic 214][pic 215]) se dirá que “ [pic 216]es equivalente a [pic 217]”. Mejor aún, dado que [pic 218]es equivalente a [pic 219] entonces [pic 220]es equivalente a [pic 221] (propiedad simétrica), se dirá que “[pic 222]e [pic 223]son equivalentes.

Definición: Sea [pic 224] una relación de equivalencia sobre [pic 225]y [pic 226]. La restricción [pic 227][pic 228]es también una relación de equivalencia en [pic 229], que se denominará relación de equivalencia inducida en [pic 230]por [pic 231] .

Si no hay posibilidad de confusión, la relación de equivalencia inducida podrá ser representada por [pic 232] .

Definición: Considere a [pic 233] una relación de equivalencia sobre[pic 234] y [pic 235]. El conjunto de los elementos de [pic 236] que son equivalentes (por [pic 237]) a [pic 238]es un subconjunto de [pic 239]que recibe el nombre de clase de equivalencia de [pic 240]. Este subconjunto se representará por [pic 241](o también por [pic 242] o [pic 243] ) . Entonces se tiene que:

[pic 244][pic 245][pic 246].

Observe que las siguientes proposiciones son equivalentes:

- [pic 247][pic 248][pic 249]

- [pic 250]

- [pic 251]

- [pic 252]

Las clases de equivalencia por una relación cumplen las siguientes propiedades:

- [pic 253]