Algebra bouleana Un Sistema es un conjunto de elementos que guardan una relación entre sí

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Figura 1

3-2-2-1 Teoremas de funciones lógicas

- En el Álgebra de Boole se cumple

F(a, b, c,.....n) = a f(1, b, c,....n) + a’ f(0, b, c,.....n)

Para demostrar esta igualdad basta con reemplazar a = 1 y a = 0 en la expresión y verificar que la misma se cumple en ambos casos. También, considerando que la función en cuestión no tiene restricciones, se puede decir que también es válida su dual:

F(a, b, c,.....,n) = [a + f(0, b, c, ....n)] [a’ + f(1, b, c,....n)]

Y se trata de una función cualquiera.

Este teorema posee corolarios muy útiles a la hora de simplificar (obtener una expresión más simple de la misma función) funciones (expresiones en general) lógicas. Se obtienen efectuando el producto miembro a miembro de la primera expresión por a o por a’, como se indica a continuación:

a f(a, b, c, ....n) = a [ a f(1, b, c, ....n) + a’ f(0, b, c,.....n)]

aplicando propiedad distributiva al segundo miembro, se obtiene:

a f(a, b, c, ....n) = a f (1, b, c, ....n) Primer Corolario

a’ f(a, b, c, ....n) = a’ [ a f(1, b, c, ....n) + a’ f(0, b, c,.....n)]

aplicando propiedad distributiva al segundo miembro, se obtiene:

a’ f(a, b, c, ....n) = a’ f (0, b, c, ....n) Segundo Corolario

Aplicando dualidad a los corolarios, se obtienen:

a + f(a, b, c, ...n) = a + f(0, b, c, ....n) Tercer Corolario

y

a’ + f(a, b, c, ...n) = a’ + f(1, b, c, ....n) Cuarto Corolario

- Toda función lógica puede expresarse en forma canónica, es decir:

- Como una sumatoria de términos en los cuales aparecen todas sus variables en forma de producto lógico (estos términos se llaman MINTERMS)

- O como una productoria de términos en los cuales aparecen todas sus variables en forma de suma lógica (estos términos se llaman MAXTERMS).

En ambos casos la función se dice expresada en forma canónica y sus términos (ya sean minterms o maxterms se llaman términos canónicos).

Se demostrará este teorema para una función de dos variables f(a, b), luego se hará extensivo para n variables.

Aplicando el teorema 1 a f(a, b), se tiene:

F(a, b) = a f(1, b) + a’ f(0, b)

Aplicando nuevamente el teorema 1 a f(1, b) y a f(0, b), se tiene:

F(1, b) = b f(1, 1) + b’ f(1, 0)

F(0, b) = b f(0, 1) + b’ f(0, 0)

Reemplazando en la expresión inicial se obtiene

F(a, b) = a b f(1, 1) + a b’ f(1, 0) + a’ b f(0, 1) + a’ b’ f(0, 0)

Se observa entonces que toda función puede expresarse como una sumatoria de todos sus minterms, afectados cada uno de ellos por un coeficiente que consiste en el valor de la función (calculado reemplazando las variables por 1 o por 0 sí, en el minterm que acompaña, la variable correspondiente se encuentra directa o negada respectivamente).

Teniendo en cuenta que f(a, b) es una función cualquiera del álgebra de Boole, su dual también lo será, por lo tanto:

F(a, b) = [a + b + f(0, 0)] [a + b’ + f(0,1)] [a’ + b + f(1, 0)] [a’ + b’ + f(1, 1)]

Se observa entonces que toda función puede expresarse como una productoria de todos sus maxterms, afectados cada uno de ellos por un coeficiente que consiste en el valor de la función (calculado reemplazando las variables por 0 o por 1 sí, en el maxterm que acompaña, la variable correspondiente se encuentra directa o negada respectivamente).

La generalización de los resultados obtenidos para funciones de n variables, resulta evidente.

A fin de obtener una notación más sencilla de las funciones lógicas, se suele asignar a cada término canónico un número decimal que se obtiene dando pesos a las variables de acuerdo a sí las mismas se encuentran expresadas en forma directa o negada. El convenio es el siguiente:

VARIABLE

PESO

A

1

B

2

C

4

D

8

E

16

F

32

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-----

Figura 2

Si la variable aparece en forma negada, el peso asignado es cero.

Según el convenio entonces, el término canónico cualquiera a’ b c’ d correspondiente a un minterm de una función de cuatro variables, tendrá el número decimal 10.

El convenio mencionado permite una tercer forma, llamada compacta, de notar una función, a saber:

F(a, b, c,....n) = Σ(i=0, 2n-1) i f(i) = Π(i=0, 2n-1) [(2n – 1 - i) + f(i)]

De la expresión anterior se deduce una regla para pasar de una función canónica en minterms a una en maxterms y viceversa: Se buscan los términos canónicos que no están en la expresión de la función, y se los complementa a 2n – 1. Estos serán los términos de la función buscada.

Por ejemplo:

Sea la función de 4 variables

F(a, b, c, d) = Σ4 (0, 1, 3,